发布时间 : 星期三 文章高中数学 第一章 不等关系与基本不等式 1.1 不等式的性质活页作业1 北师大版选修4-5更新完毕开始阅读
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活页作业(一) 不等式的性质
一、选择题
1.若2-m与|m|-3异号,则实数m的取值范围是( ) A.(3,+∞) C.(2,3)
B.(-3,3)
D.(-3,2)∪(3,+∞)
解析:法一 因为2-m与|m|-3异号,所以(2-m)·(|m|- 3)<0,即(m-2)(|m|-3)>0.
??m≥0,所以?
?m-2?
m-3>0
??m<0,
或?
?m-2?
-m-3>0.
解得
m>3或0≤m<2或-3<m<0.
法二 取m=4符合题意,排除B,C两项;取m=0可排除A项. 答案:D
2.给出下列命题:
11
①若a>b且a,b同号,则<;
ab1
②若>1,则0<a<1;
a③a≥b且ac≥bc?c≥0; ④若a>b,n∈N+?a2n-1
>b2n-1
.
其中真命题个数为( ) A.1 C.3
B.2 D.4
解析:①正确.因为ab>0,a>b,所以>,即 11>.
abababba②显然成立.
③错误.因为ac≥bc,即(a-b)c≥0, 而a≥b,当a=b时,c∈R.
④正确.因为n∈N+,2n-1为奇数,条件可放宽, 即a>b,则得a答案:C
3.设a>b>1,c<0,给出下列三个结论:
2n-1
>b2n-1
.
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①>;②a<b;③logb(a-c)>loga(b-c). 其中,正确结论的序号是( ) A.① C.②③
B.①② D.①②③
ccabcc11cc解析:由a>b>1,c<0,得<,>.
ababc由幂函数y=x(c<0)是减函数,得a<b. 因为a-c>b-c,
所以logb(a-c)>loga(a-c)>loga(b-c). 故①②③均正确. 答案:D
4.若a<0,-1<b<0,则有( ) A.a>ab>ab C.ab>a>ab
解析:∵a<0,-1<b<0,
∴ab>0,b-1<0,1-b>0,0<b<1. ∴1-b>0,ab-a=a(b-1)>0.∴ab>a. ∵ab-ab=ab(1-b)>0,∴ab>ab. ∵a-ab=a(1-b)<0,∴a<ab. 故ab>ab>a. 答案:D 二、填空题
5.把下列各题中的“=”全部改成“<”,结论仍然成立的是________. ①如果a=b,c=d,那么a-c=b-d; ②如果a=b,c=d,那么ac=bd; ③如果a=b,c=d,且cd≠0,那么=; ④如果a=b,那么a=b.
解析:因为幂函数y=x在R上是增加的,所以④成立. 答案:④
6.lg(x+1)与lg x(x>0)的大小关系是________.
2
33
3
22
2
2
2
2
2
2
22
ccB.ab>ab>a D.ab>ab>a
2
2
abcdx2+1?1?解析:lg(x+1)-lg x=lg=lg?x+?. x?x?
2
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1
∵x>0,∴x+≥2>1.
x?1?2
∴lg?x+?>0,即lg(x+1)>lg x.
?
x?
答案:lg(x+1)>lg x 三、解答题
11
7.已知a,b,x,y都是正数,且>,x>y.
2
ab求证:
xx+ay+b>
y.
11
证明:因为a,b,x,y都是正数,且>,x>y,
ab所以>.所以<. 故+1<+1,即0<所以
xyababxyaxbyx+ay+b<. xyxx+ay+b>
y.
8.建筑学规定,民用住宅的窗户面积必须小于地板面积,但按采光标准,窗户面积与地板面积的比值不小于10%,并且这个比值越大,住宅的采光条件越好.若同时增加相等的窗户面积和地板面积,住宅的采光条件是变好了还是变差了?
1n解:设窗户面积为n,地板面积为m,则≤<1.
10m设增加的窗户面积和地板面积均为t, 由<1.得m>n. ∴mt>nt.
∴mt+mn>nt+mn,即m(n+t)>n(m+t). ∴
nmn+tn>,即采光条件变好了. m+tm
一、选择题
1.若a>b>0,则下列不等式恒成立的是( ) 2a+baA.> a+2bb11C.a+>b+ b2+1b2B.2>2 a+1aD.a>b
abab金戈铁制卷
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2a+b5a解析:选取适当的特殊值,若a=2,b=1,可知=,=2.由此可知选项A不成
a+2b4b111
立.由不等式的基本性质,可知当a>b>0时,<.由此可知选项C不恒成立.取a=,ab2
b=,则a>b>0,但aa=bb.故选项D不恒成立.
答案:B
2.已知x>y>z,x+y+z=0,则下列不等式成立的是( ) A.xy>yz C.xy>xz
B.xz>yz D.x|y|>z|y|
1
4
解析:因为x>y>z,x+y+z=0,所以3x>x+y+z=0,3z<x+y+z=0.所以x>0,
??x>0,
z<0.由?
?y>z,?
可得xy>xz.
答案:C 二、填空题
π3.若0<x<,则2x与3sin x的大小关系是否确定?________(选填“是”或“否”).
2解析:令f(x)=2x-3sin x,则f′(x)=2-3cos x.
222
当cos x<时,f′(x)>0;当cos x=时,f′(x)=0;当cos x>时,f′(x)<0.
333π?π?所以当0<x<时,函数f(x)先减后增.而f(0)=0,f??=π-3>0,故函数f(x) 2?2?
的值与0的关系与x取值有关,即2x与3sin x的大小关系不确定. 答案:否
xx2
4.已知1≤lg(xy)≤4,-1≤lg≤2,则lg的取值范围是________.
yy解析:由1≤lg(xy)≤4,-1≤lg≤2,得1≤lg x+lg y≤4,-1≤lg x-lg y≤2.
xyx213
而lg=2lg x-lg y=(lg x+lg y)+(lg x-lg y),
y22x2
所以-1≤lg≤5.
y答案:[-1,5] 三、解答题
5.已知m∈R,a>b>1,函数f(x)=
mx,试比较f(a)与f(b)的大小. x-1
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