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专题四 电磁感应综合问题 2006-2
此刻，由I4?BLv4 解得导轨的运动速度 v4?3m/s。 R?r 由①式可得F4=2.24N。 力F做功的功率P4=F4v4=6.72W
【例12】如图甲所示，空间存在着一个范围足够大的竖直向下的匀强磁场区域，磁场的磁感应强度大小为B 。边长为L的正方形金属abcd（下简称方框）放在光滑的水平面上，其外侧套着一个与方框边长相同的U型金属框架MNPQ（下简称U型框），U型框与方框之间接触良好且无摩擦。两个金属框每条边的质量均为m，每条边的电阻均为r 。
（1）将方框固定不动，用力拉动U型框使它以速度v0垂直NP边向右匀速运动，当U型框的MQ端滑
至方框的最右侧（如图所示）时，方框上的bc两端的电势差为多大？此时方框的热功率为多大？
（2）若方框不固定，给U型框垂直NP边向右的初速度v0，如果U型框恰好不能与方框分离，则在
这一过程中两框架上产生的总热量为多少？
（3）若方框不固定，给U型框垂直NP边向右的初速度v(v>v0)，U型框最终将与方框分离。如果从
U型框和方框不再接触开始，经过时间t方框最右侧和U型框最左侧距离为s。求两金属框分离时的速度各为多大？ 解析：（1）当方框固定不动，U型框以v0滑至方框最右侧时，感应电动势为E，有：E=BLV0 (1)
r×3r3
M bc间并联电阻 R并= =r (2) N r+3r4
a B b Ebc两端的电势差 Ubc= R并 （3）
R并+2r+rd c Q 1P 由(1)(2)(3)得Ubc= BLV。 (4)
5
M N E2
a b 此时方框的热功率P=（ ）R并 (5)
R并+2r+rB 222d c 由(1)(2)(5)得：p?4Blv0 (6) 75rQ P
（2）若方框不固定，当U型框恰好不与方框分离时速度设为v,由动量守恒可知
3mv0?(3m?4m)v (7)
由能的转化和守恒可知总热量Q为
1162 22 Q= 3m v0- (3m+4m)v (8) 由(7)(8)可知，Q= mv0(9) 227
（3）若方框不固定，设U型框与方框分离时速度分别为v1、v2
由动量守恒可知：3mv=3mv1+4mv2 (10) 在t时间内相距S可知：s=(v1-v2)t (11)
14s3s由（10）（11）可知 v1= (3v+ ) v2= (v- ) (12
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专题四 电磁感应综合问题 2006-2
【例13】 两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距离为l，导轨上面横放着两根导体棒ab和cd，构成矩形回路，如图1所示，两根导体棒的质量皆为m，电阻皆为R，回路中其余部分的电阻可不计。在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B，设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行，开始时，棒cd静止，棒ab有指向棒cd的初速度v0,若两导体棒在运动中始终不接触，求：
（1）在运动中产生的焦耳热量最多是多少？ 答案：（（2）当ab棒的速度变为初速度的
12mv0） 43时，cd棒的加速度是多少？ 4FB2l2v0答案：（a?） ?m4mR【例14】 两根相距l?0.2m的闰行金属长导轨固定在同一水平面内，并处于竖直方向的匀强
磁场中磁场的磁感应强度B=0.2Ω，回路中其余部的电阻可不计。已知两金属细杆在平行于导轨的拉力的作用下沿导轨朝相反方向匀速平移，速度大小都是v=5.0m/s，如图2所示，不计导轨上的摩擦。 （1）求作用于每条金属细杆的拉力的大小。（答案：3.2×10-2N） （2）求两金属细杆在间距增加0.40m的滑动过程中共产生的热量。(1.28×10-2J)
【例15】 两极平行的金属导轨（如图所示），固定在同一水平面上，磁感强度B=0.50T的匀强磁场与导轨所在平面垂直，导轨的电阻很小，可忽略不计，导轨间的距离l?0.20m，两根质量均为m=0.10kg的平行金属杆甲、乙可在导轨上无摩擦地滑动，滑动过程中与导轨保
持垂直，每根金属杆的电阻为R=0.50Ω，在t=0时刻，两杆都处于静止状态，现有一与导轨平行，大小为0.20N的恒力F作用于金属杆甲上，使金属杆在导轨上滑动。经过t=5.0s，金属杆甲的加速度为a=1.37m/s2，问此时两金属杆的速度各为多少？
v1?1Ft2R(F?ma)1Ft2R(F?ma)[?]v?[?] 222222m2mBlBl【例16】 金属棒a在离地h高处从静止开始沿光滑弧形金属轨道下滑，导轨的水平部分有竖直向上的匀强磁场B，水平部分原来放有一金属杆b，如图5所示，已知ma:mb=3:4，导轨足够长，不计摩擦，求：
（1）a和b的最大速度分别为多大？ （答案：
32gh） 7（2）整个过程释放出来的最大热能是多少？（设ma已知）（答案
4magh） 7Page 10 of 17
专题四 电磁感应综合问题 2006-2
【例17】 两金属杆ab和ck长均为l，电阻均为R，质量分别为M和M和m，M>m，用两根质量和电阻均可忽略的不可伸长的柔软导线将它们连成闭合回路，并悬 挂在水平、光滑、不导电的圆棒两侧，两金属杆都处在水平位置，如图6所示，整个装置处在一与回路平面相垂直的匀强磁场中，磁感应强度为B，若金属杆ab正好匀速向下运动，求运动的速度。 （答案：v?(M?m)gR）
2B2l2【例18】如图，在水平面上有两条平行导电导轨MN、PQ，导轨间距离为
l，匀强磁场垂直于导轨所在的平面（纸面）向里，磁感应强度的大小为B，两根金属杆1、2
摆在导轨上，与导轨垂直，它们的质量和电阻分别为m1、m2和R1、R2，两杆与导轨接触良好，与导轨间的动摩擦因数为?，已知：杆1被外力拖动，以恒定的速度v0沿导轨运动；达到稳定状态时，杆2也以恒定速度沿导轨运动，导轨的电阻可忽略，求此时杆2克服摩擦力做功的功率。
解法1：设杆2的运动速度为v，由于两杆运动时，两杆间和导轨构成的回路中的磁通量发生变化，产生感应电动势 E?Bl(v0?v) ①
M 2
1 N
E感应电流 I? ②
R1?R2v
杆2作匀速运动，它受到的安培力等于它受到的摩擦力，BlI??m2g ③ 导体杆2克服摩擦力做功的功率 P??m2gv ④
解得 P??m2g[v0??m2gB2l2(R1?R2)] ⑤
解法2：以F表示拖动杆1的外力，以I表示由杆1、杆2和导轨构成的回路中的电流，达到稳定时，对杆1有 F??m1g?BIl?0 ①
对杆2有 BI?l?m2g?0 ②
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专题四 电磁感应综合问题 2006-2
外力F的功率 PF?Fv0 ③
以P表示杆2克服摩擦力做功的功率，则有P?PF?I2(R1?R2)??m1gv0 ④ 由以上各式得 P??m2g[v0??mggB2l2(R1?R2)] ⑤
【例19】如图，足够长的光滑平行导轨水平放置，电阻不计，MN部分的宽度为2l，PQ部分的宽度为l，金属棒a和b的质量ma?2mb?2m，其电阻大小
Ra?2Rb?2R，a和b分别在MN和PQ上，垂直导轨相距足
够远，整个装置处于竖直向下的匀强磁场中，磁感强度为B，开始
a棒向右速度为v0，b棒静止，两棒运动时始终保持平行且a总在MN上运动，b总在PQ上
运动，求a、b最终的速度。
解析：本题由于两导轨的宽度不等，a、b系统动量不守恒，可对a、b分别用动量定理。a运动产生感应电流，a、b在安培力的作用下，分别作减速和加速运动.b的运动产生了反电动势。回路的E总?Ea?Eb?2Blva?Blvb，
随着va减小，vb增加，E总减小，安培力F?E总lB/(3R)也随之减小，故a棒的加速度
a?Fa/(2m)减小，b棒的加速度a/?Fb/m也减小。
当E总?0，即2Blva?Blvb时，两者加速度为零，两棒均匀速运动，且有vb?2va?① 对a、b分别用动量定理 ?Fat?2m(va?vb)??②
Fbt?mvb??③
而Fa?2Fb??④ 联立以上各式可得：va?Page 12 of 17
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