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???S1??S1??0??S2??S2?∴
23、一直线上点的射影变换是
3x?2x'=x?4，证明这直线上有两点保持不
变，且这两点跟任意一对对应点的交比为一常数。 证明：设固定点为 x=x' ，所以
x(x+4)=3x+2，即x2+x－2=0，解得固定点为x= -2 和x=1 设任一对对应点为交比：（1，—2，x
24、试证对合对应的二线束中，一般只有一对互相垂直的对应直线，若有两对互垂的对应直线，则每对对应直线都互垂。 证明：取二线束公共顶点为原点，取对应线的斜率为λ、λ'，则对合方程为
aλλ'+b(λ+λ')+d=0, 且ad－b2≠0，互垂对应线应满足λλ'=－1， 所以
3x?2x，x?4
，
5(x?1)(x?2)53x?2??(常数)2(x?2)(x?1)2x?4）=
?a????b(????)?d?0?????1?b?2?(a?d)??b?0(1)??(a?d)2?4b2?0
所以当方程（1）有两个不等实根λ1，λ2时，只有一对互垂对应线， 这是因为λ1λ
b2=－b=－1,因而λ
1'=
?1?1=λ2，λ'2=
?1?2=λ1。
当方程（1）有两个相等实根时，必须a－d=0，b=0，这时
对合变为λλ'=－1， 每对对应线都互垂。
25、设A，A'；B，B'；C，C'是对合的三对对应点，试证（ABC'）（BCA'）（CAB'）=1。
证明：由对合对应的相互交换性，有A→A'，B→B'，A'→A，C'→C， 所以（AB，A'C'）=（A'B'，AC），
AA??BC?A?A?B?CBC?B?CAC?BA?CB?????????1???????????AC?BAAC?BAAC?BAAC?BABCCAAB于是得
∴（ABC'）（BCA'）（CAB'）=1
26、AB是定圆直径，作一组圆使其中心都在直线AB上并且都跟定圆正交，证明这组圆跟直线AB的交点构成一个双曲对合。 证明：设圆O'是与定圆O正交的任一圆，T为一个交点，且圆O'与直线AB交于点和P'（图11）
已知OT⊥O'T，∴OT2=OP·OP'，即 OA2=OB2=OP·OP'。 ∴点P，P'是以A，B为二重元素，O为中心的双曲对合 图11的一对对应点。
27、O是笛氏正交坐标的原点，A是y轴上一定点，以A为顶点的直角绕A旋转，证明直角两边被x轴所截的点偶构成一个椭圆型对合。
证明：设直角边交x轴的任意两个位置为A1，A2；B1，图B2（图1212）
设OA2=k，则OA1·OA2=OB1·OB2=OA2=k， 因为A1，A2；B1，B2在x轴上的位置为一正一负， 故OA1·OA2=OB1·OB2＜0，
因而A1，A2；B1，B2，……在x轴上构成椭圆型对合
第四章 代沙格定理、四点形与四线形
设△ABC的顶点，A，B，C分别在共点的三直线α，β，γ上移动， 且直线AB和BC分别通过定点P和Q，求证CA也通过PQ 上一个定点（图13）。
证：设A0是α上的一个定点，AOP交β于B0，B0Q交γ于C0，
图13则A0C0是定直线（图13）。若R是定直线A0C0与定直线PQ 的交点，从而R是PQ上 的定点，若△ABC是合于条件的， 因为在△ABC及△A0B0C0中，A0A，B0B，C0C共点，
根据代沙格定理，P，Q及A0C0×AC共线，即AC通过A0C0×PQ=R（定点）。
△ABC的二顶点A与B分别在定直线α和β上移动，三边AB，BC， CA分别过共线的定点P，Q，R，求证顶点C也在一定直线上移动。
图14 证：设α×β=0（定点），△A0B0C0是满足条件的定三角形，
△ABC是满足条件的任意三角形。
∵A0B0×BC=Q，A0C0×AC=R。由代沙格定理逆定理得， 三线A0A，B0B，C0C共点O，即C在定直线C0O上移动（图14）。
设P，Q，R，S是完全四点形的顶点，A=PS×QR，B=PR×QS， C=PQ×RS，
证明A1=BC×QR，B1=CA×RP，C1=AB×PQ三点共线。
图15 证：在△ABC及△PQR中（图15），∵AP，BQ，CR共点S。 ∴对应边的交点C1=AB×PQ，B1=CA×RP，A1=BC×RQ三点共线。
4、已知线束中的三直线a，b，c求作直线d使（ab，cd）=－1。 解：设线束中心为S，以直线1分别截a,b，c于A，B，C在直线c上
图16任意取一点Q，联AQ交d于R，联BQ交a于P，联PR与1交于D
（图16），则直线SD为所求。
因为，SPQR构成一完全四点形，∴（AB，CD）=－1， 从而（ab，cd）=（AB，CD）=－1。