发布时间 : 星期一 文章45道数学题（含答案）更新完毕开始阅读
则得a?3，或a??1，即x?y?3?0，或x?y?1?0
这样的直线有3条：y?2x，x?y?3?0，或x?y?1?0。
418解：设直线为y?4?k(x?5),交x轴于点(?5,0)，交y轴于点(0,5k?4)，
k1416 S???5?5k?4?5,40??25k?10
2kk 得25k2?30k?16?0，或25k2?50k?16?0
28 解得k?,或 k?
55 ?2x?5y?10?0，或8x?5y?20?0为所求。
?4x?y?6?02418241819.解：由?得两直线交于(?,)，记为A(?,)，则直线AP
23232323?3x?5y?6?0垂直于所求直线l，即kl?424，或kl? 35424x，或y?1?x， 35即4x?3y?0，或24x?5y?5?0为所求。 ?y?20解：由已知可得直线CP//AB，设CP的方程为y?? 则3x?c,(c?1) 3c?11?13?AB?331x?3过P(m,) ?3,c?3，y??322 得
1353??m?3,m? 23221.解：设直线为y?2?k(x?2),交x轴于点( S??2?2,0)，交y轴于点(0,2k?2)， k122??2?2k?2?1,4??2k?1 2kk 得2k2?3k?2?0，或2k2?5k?2?0
1 解得k??,或 k??2
2 ?x?3y?2?0，或2x?y?2?0为所求。
22解：(a?1)2?(b?1)2的最小值为点(1,1)到直线x?y?1?0的距离
3232，(a2?b2?2a?2b?2)min?。
22223.解：圆心显然在线段AB的垂直平分线y?6上，设圆心为(a,6)，半径为r，则
而d?3?(x?a)2?(y?6)2?r2，得(1?a)2?(10?6)2?r2，而r?a?135
(a?13)2(a?1)?16?,a?3,r?25,
52?(x?3)2?(y?6)2?20。
24.解：设圆心为(3t,t),半径为r?3t，令d?而(7)2?r2?d2,9t2?2t2?7,t??1
3t?t2?2t
?(x?3)2?(y?1)2?9，或(x?3)2?(y?1)2?9
25解：acosA?bcosB?ccosC,sinAcosA?sinBcosB?sinCcosC
sin2A?sin2B?sin2C,2sin(A?B)cos(A?B)?2sinCcosC cos(A?B)??cos(A?B),2cosAcosB?0
cosA?0或cosB?0，得A??2或B??2
所以△ABC是直角三角形。
a2?c2?b2b2?c2?a226证明：将cosB?，cosA?代入右边
2ac2bca2?c2?b2b2?c2?a22a2?2b2 得右边?c( ?)?2abc2abc2aba2?b2ab????左边，
abbaabcosBcosA ∴??c(?)
baba27．证明：∵△ABC是锐角三角形，∴A?B??2,即
?2?A??2?B?0
∴sinA?sin(?B)，即sinA?cosB；同理sinB?cosC；sinC?cosA
2∴sinA?sinB?sinC?cosA?cosB?cosC
28.解：∵a?c?2b,∴sinA?sinC?2sinB，即2sin∴sin?A?CA?CBBcos?4sincos， 2222B1A?C3B13B??cos?，而0??,∴cos?， 22242422BB313cos?2???2244∴sinB?2sin39 8129.解：S?ABC?bcsinA?3,bc?4,
22bccosA,?b a2?b2?c2??c，而5c?b
所以b?1,c?4
30. 证明：∵sinA?sinB?sinC?2sin ?2sin ?2sin ?2cos ?4cosA?BA?Bcos?sin(A?B) 22A?BA?BA?BA?B cos?2sincos2222A?BA?BA?B(cos?cos) 222CAB?2coscos 222ABCcoscos 222ABCcoscos 222∴sinA?sinB?sinC?4cosaba2?ac?b2?bc31．证明：要证??1，只要证?1，
b?ca?cab?bc?ac?c2即a2?b2?c2?ab 而∵A?B?1200,∴C?600
a2?b2?c22cosC?,a?b2?c2?2abcos600?ab
2ab∴原式成立。
a2?b2sin(A?B)a2sinAcosBsin2A?,??32解：2
a?b2sin(A?B)b2cosAsinBsin2B
cosBsiAn?,sinA2?cosAsBinsBin2A?,2B或2A2?B?? 2∴等腰或直角三角形
33解：设原三数为3t,4t,5t,(t?0)，不妨设t?0,则(3t?1)5t?16t2,t?5 ? 3t?15,t420t,?5∴原三数为215,20,25。
134. 解：记Sn?1?2x?3x2?...?nxn?1,当x?1时，Sn?1?2?3?...?n?n(n?1)
2当x?1时，xSn?x?2x2?3x3?...?(n?1)xn?1?nxn, (1?x)Sn?1?x?x?x?...?x?1?xn?nxn(x?1)??∴原式=?1?x
n(n?1)?(x?1)??223n?11?xn?nx,Sn??nxn
1?xn35解：Sn?3?2n,Sn?1?3?2n?1,an?Sn?Sn?1?2n?1(n?2)
?5,(n?1)而a1?S1?5，∴an??n?1
2,(n?2)?36解：x2?8x?20?0恒成立,?mx2?2(m?1)x?9m?4?0须恒成立
当m?0时，2x?4?0并不恒成立； ?m?0当m?0时，则? 2??4(m?1)?4m(9m?4)?0??m?01?得?11 ?m??
2m?,或m????4237解：设球落下的高度依次为a1, a2, ?, a10 .
1的等比数列 21100[1?()10]255752则球第10次落下时落下的路程为S10???200
11281?2∵ a1 = 100, a2 = 50, a3 = 25 ∴ {an}是公比为∴本球共经过的路程为S = 2S10 ? 100 ≈300 （米）
38解：如图建立直角坐标系，则抛物线方程为x2 = ?2py 依题意知：x = 2时，y = ?2代入方程得p = 1
y x 0 即抛物线方程为 x2 = ?y, 当水面下降1米时，y = ?3 ? x =3
2 4
39解：设爆炸t秒后A哨所先听到爆炸声，则B哨所t + 3秒后听到爆炸声，爆炸点设为M 则 |MA| = 340t, |MB| = 340( t + 3 ) = 340t + 1020
两式相减：|MA| ? |MB| = 1020 (|AB| = 1400> 1020) ∴ 炮弹爆炸点的轨迹是以A、B为焦点的双曲线
∴ A(?700, 0 ), B( 700, 0 ) ? c = 700 且 2a = 1020 ? a = 510 ? b2 =229900
40 解：(1)设方程的实根为x0，则x0?(2i?1)x0?3m?i?0， 因为x0、m?R，所以方程变形为(x0?x0?3m)?(2x0?1)i?0，
221?x????1?0?x0?x0?3m?02由复数相等得?，解得?，故m?。
121??2x0?1?0?m??12?2（2）设z?a?bi(a,b?R)，则(a?bi)(a?bi)?2i(a?bi)?1?2i， 即a?b?2b?2ai?1?2i。
22??2a?a?a1??1?a2??1由?2得?或?，?z??1或z??1?2i。 2?b2??2?a?b?2b?1?b1?0460?(26?200?184?50)2?4.8?3.841， 41.解：k?210?250?76?3842?有95℅的把握认为小麦种子灭菌与否跟发生黑穗病有关。
42.证明：假设a、b、c、d都是非负数
因为a?b?c?d?1，所以(a?b)(c?d)?1，
又(a?b)(c?d)?ac?bd?ad?bc?ac?bd，所以ac?bd?1， 这与已知ac?bd?1矛盾。所以a、b、c、d中至少有一个是负数。
43解析：函数f?x?的导数为f'?x??3ax2?6x?1。对于x?R都有f'?x??0时，
?a?0，解得a??3。f?x?为减函数。由3ax2?6x?1?0?x?R?可得????36?12a?0所以，当a??3时，函数f?x?对x?R为减函数。
1?8?（1） 当a??3时，f?x???3x?3x?x?1??3?x???。
3?9?3233由函数y?x在R上的单调性，可知当a??3是，函数f?x?对x?R为减函数。
（2） 当a??3时，函数f?x?在R上存在增区间。所以，当a??3时，函数f?x?在
R上不是单调递减函数。
综合（1）（2）（3）可知a??3。 答案：a??3
244（1）f?(x)?6x?6ax?3b，因为函数f(x)在x?1及x?2取得极值，则有f?(1)?0，
?6?6a?3b?0，?f(2)?0．即?，解得a??3，b?4。
24?12a?3b?0．?（2）由（Ⅰ）可知，f(x)?2x3?9x2?12x?8c，f?(x)?6x2?18x?12?6(x?1)(x?2)。 当x?(0，1)时，f?(x)?0；当x?(12)，时，f?(x)?0；当x?(2，3)时，f?(x)?0。所以，当x?1时，f(x)取得极大值f(1)?5?8c，又f(0)?8c，f(3)?9?8c。则当x??0，3?时，f(x)的最大值为f(3)?9?8c。因为对于任意的x??0，3?，有f(x)?c2恒成立，
2所以 9?8c?c，解得 c??1或c?9，因此c的取值范围为(??，?1)(9，??)。
答案：（1）a??3，b?4；（2）(??，?1)(9，??)
45（1）f?x??x3?ax2?4x?4a，? f'?x??3x2?2ax?4。
1。?f'?x??3x2?x?4??3x?4??x?1? 24
令f'?x??0，即?3x?4??x?1??0，解得x??1或x?， 则f?x?和f'?x?在区间??2,2?3
（2）f'??1??3?2a?4?0，?a?上随x的变化情况如下表： x f'?x? f?x? f??1???2 0 ??2,?1? ＋ 增函数 ?1 0 极大值 4????1,? 3??— 减函数 4 30 极小值 ?4??,2? ?3?＋ 增函数 2 0 9，250?4?。所以，f?x?在区间??2,2?上的最大值为f????27?3?9。 2250?4?，最f????27?3?小值为f??1??答案：（1）f'?x??3x?2ax?4；（2）最大值为f????
?4??3?950，最小值为f??1??
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