发布时间 : 星期日 文章2010年高考数学试题分类汇编--圆锥曲线（计算题） - 图文更新完毕开始阅读
当S?PAB|x0?y0|(3?x0)2?S?PMN时，得|x0?y0|? 2|x0?1|又|x0?y0|?0，
所以(3?x0)=|x0?1|，解得|x0?因为x0?3y0?4，所以y0??22225。 333 95333). 9故存在点P使得?PAB与?PMN的面积相等，此时点P的坐标为(,?解法二：若存在点P使得?PAB与?PMN的面积相等，设点P的坐标为(x0,y0)
11|PA|?|PB|sin?APB?|PM|?|PN|sin?MPN. 22 因为sin?APB?sin?MPN,
则 所以
|PA||PN| ?|PM||PB||x0?1||3?x0|?
|3?x0||x?1|22 所以
即 (3?x0)?|x0?1|，解得x0? 因为x0?3y0?4，所以y0??225 333 9 故存在点PS使得?PAB与?PMN的面积相等，此时点P的坐标为
533(,?). 39
（2010四川理数）（20）（本小题满分12分）
已知定点A(－1，0)，F(2，0)，定直线l：x＝，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍.设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分别交l于点M、N （Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由.
本小题主要考察直线、轨迹方程、双曲线等基础知识，考察平面机袭击和的思想方法及推理运算能力.
w_w w. k#s5_u.c o*m12
解：(1)设P(x,y)，则(x?2)2?y2?2|x?2
1| 2y2化简得x－=1(y≠0)………………………………………………………………4分
3(2)①当直线BC与x轴不垂直时，设BC的方程为y＝k(x－2)(k≠0)
与双曲线x2
－y23=1联立消去y得w_w w. k#s5_u.c o*m
(3－k)2x2＋4k2x－(4k2＋3)＝0 由题意知3－k2≠0且△＞0 设B(x1,y1),C(x2,y2)，
??4k2?x1?x2?则?k2?3?2 ??x1x2?4k?3k2?3y1y2＝k2(x1－2)(x2－2)＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]
＝k2
(4k2?38k2k2?3?k2?3＋4) ?9k2 ＝k2?3w_w w. k#s5_u.c o*m
因为x1、x2≠－1 所以直线AB的方程为y＝
y1x?1(x＋1) 1因此M点的坐标为(
12,3y12(x1)) 1?????FM??(?33y1????33y22,2(x),同理可得FN?(?,)w_w w. k#s5_u.c o*m
1?1)22(x2?1)因此????FM?????FN??(?39y1y22)2?2(x:学.科.网Z.X.X.K]
1?1)(x2?1)[来源?81k2 ＝49?k2?34k2?34k2 4(k2?3?k2?3?1) ＝0
②当直线BC与x轴垂直时，起方程为x＝2，则B(2,3),C(2,－3)
?????1333AB的方程为y＝x＋1,因此M点的坐标为(,)，FM?(?,)
2222????33同理可得FN?(?,?)
22?????????333因此FM?FN?(?)2??(?)＝0
222?????????综上FM?FN＝0，即FM⊥FN
w_w w. k#s5_u.c o*m故以线段MN为直径的圆经过点F………………………………………………12分
（2010天津文数）（21）（本小题满分14分）
x2y23已知椭圆2?2?1（a>b>0）的离心率e=，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为
2ab4.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点A的坐标为（-a，0）.
|= （i）若|AB42，求直线l的倾斜角； 5????????（0，y0）QB=4.求y0的值. （ii）若点Q在线段AB的垂直平分线上，且QA?【解析】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、
直线的倾斜角、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查综合分析与运算能力.满分14分.
（Ⅰ）解：由e=
c322222?，得3a?4c.再由c?a?b，解得a=2b. a2由题意可知
1?2a?2b?4，即ab=2. 2解方程组??a?2b,得a=2，b=1.
ab?2,?x2?y2?1. 所以椭圆的方程为4(Ⅱ)(i)解：由（Ⅰ）可知点A的坐标是（-2,0）.设点B的坐标为(x1,y1)，直线l的斜率为k.则直线l的方程为y=k（x+2）.
?y?k(x?2),?于是A、B两点的坐标满足方程组?x2消去y并整理，得 2??y?1.?4(1?4k2)x2?16k2x?(16k2?4)?0.
16k2?42?8k24k由?2x1?，得.从而. x?y?1121?4k21?4k21?4k?2?8k2??4k?41?k2所以|AB|???2?. ???2?2?21?4k1?4k1?4k????41?k24242?由|AB|?，得. 21?4k55整理得32k?9k?23?0，即(k?1)(32k?23)?0，解得k=?1. 所以直线l的倾斜角为
422222?3?或.
44?8k22k?,（ii）解：设线段AB的中点为M，由（i）得到M的坐标为??. 22??1?4k1?4k?以下分两种情况：
（1）当k=0时，点B的坐标是（2,0），线段AB的垂直平分线为y轴，于是
????????????????QA???2,?y0?,QB??2,?y0?.由QA?QB?4，得y0??22。
2k1?8k2????x?（2）当k?0时，线段AB的垂直平分线方程为y?。 22?1?4kk?1?4k?6k。 21?4k????????由QA???2,?y0?，QB??x1,y1?y0?，
令x?0，解得y0???????????2?2?8k2?6k?4k6k?QA?QB??2x1?y0?y1?y0???? 22?22?1?4k1?4k?1?4k1?4k??4?16k4?15k2?1??1?4k?222?4，
14214。所以y0??。 75214 5整理得7k?2。故k??综上，y0??22或y0??
（2010天津理数）（20）（本小题满分12分）
x2y23已知椭圆2?2?1(a?b?0）的离心率e?，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为
2ab