发布时间 : 星期六 文章2010年高考数学试题分类汇编--圆锥曲线（计算题） - 图文更新完毕开始阅读
（2010北京文数）（19）（本小题共14分）
已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(?2,0)，(2,0)，离心率是C交与不同的两点M，N，以线段为直径作圆P,圆心为P。 （Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；
（Ⅲ）设Q（x，y）是圆P上的动点，当t变化时，求y的最大值。 解：（Ⅰ）因为
6，直线y=t椭圆3c622?，且c?2，所以a?3,b?a?c?1 a3x2?y2?1 所以椭圆C的方程为3（Ⅱ）由题意知p(0,t)(?1?t?1)
?y?t?2x??3(1?t) 由?x2 得2??y?1?32所以圆P的半径为3(1?t)
解得t??33 所以点P的坐标是（0，?） 22222（Ⅲ）由（Ⅱ）知，圆P的方程x?(y?t)?3(1?t)。因为点Q(x,y)在圆P上。所以
y?t?3(1?t2)?x2?t?3(1?t2)
设t?cos?,??(0,?)，则t?3(1?t2)?cos??3sin??2sin(??当??
（2010北京理数）（19）（本小题共14分）
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?3，即t?1，且x?0，y取最大值2. 2在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于?1. 3(Ⅰ)求动点P的轨迹方程；
(Ⅱ)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。
（I）解：因为点B与A(?1,1)关于原点O对称，所以点B得坐标为(1,?1). 设点P的坐标为(x,y) 由题意得
y?1y?11??? x?1x?1322 化简得 x?3y?4(x??1).
故动点P的轨迹方程为x?3y?4(x??1)
（II）解法一：设点P的坐标为(x0,y0)，点M，N得坐标分别为(3,yM),(3,yN). 则直线AP的方程为y?1?22y0?1y?1(x?1)，直线BP的方程为y?1?0(x?1) x0?1x0?1令x?3得yM?4y0?x0?32y0?x0?3，yN?.
x0?1x0?1于是?PMN得面积
|x0?y0|(?3x02)1?yN|(?30x?) S?PMN?|yM 22|x0?1|又直线AB的方程为x?y?0，|AB|?22， 点P到直线AB的距离d?于是?PAB的面积 S?PAB?
|x0?y0|2.
1|AB|?d?|x0?y0| 2