发布时间 : 星期六 文章山西省长治市2019-2020学年高考第三次适应性考试数学试题含解析更新完毕开始阅读
【点睛】
本小题主要考查线面平行的证明，考查线面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题. 18．已知函数f?x?x??2?ax?a?ex，其中a?R.
（1）当a?0时，求f?x?在1,f?1?的切线方程； （2）求证：f?x?的极大值恒大于0. 【答案】（1）y?【解析】 【分析】
（1）求导，代入a?0，求出在x?1处的导数值及函数值，由此即可求得切线方程； （2）分类讨论得出极大值即可判断. 【详解】
??1x（2）证明见解析 e?x2??a?2?x?2a??x?a??x?2?（1）f'?x??， ?xxee当a?0时，f'?1??11，f?1??， ee1x； e则f?x?在1,f?1?的切线方程为y???（2）证明：令f'?x??0，解得x?2或x??a，
①当a??2时，f'?x??0恒成立，此时函数f?x?在R上单调递减， ∴函数f?x?无极值；
②当a??2时，令f'?x??0，解得?a?x?2，令f'?x??0，解得x??a或x?2， ∴函数f?x?在??a,2?上单调递增，在???,?a?，?2,???上单调递减， ∴f?x?极大值?f?2??a?4?0； e2③当a??2时，令f'?x??0，解得2?x??a，令f'?x??0，解得x?2或x??a，
∴函数f?x?在?2,?a?上单调递增，在???,2?，??a,???上单调递减， ∴f?x?极大值?f??a???a?0， ae综上，函数f?x?的极大值恒大于0. 【点睛】
本小题主要考查利用导数求切线方程，考查利用导数研究函数的极值，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.
19．在?ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2ccosB?2a?b， （Ⅰ）求?C的大小；
uuuv1uuuv（Ⅱ）若CA?CB?2，求?ABC面积的最大值．
2【答案】（1）C?【解析】 【分析】 【详解】
分析：(1)利用正弦定理以及诱导公式与和角公式，结合特殊角的三角函数值，求得角C；
(2)运用向量的平方就是向量模的平方，以及向量数量积的定义，结合基本不等式，求得ab的最大值，再由三角形的面积公式计算即可得到所求的值. 详解：（1）∵2ccosB?2a?b，
?3（2）23 ?2sinCcosB?2sinA?sinB，?2sinCcosB?2sin?B?C??sinB，
1??2sinBcosC?sinB，?cosC?，?C?
23uuuv1uuuvuuuv （Ⅱ）取BC中点D，则CA?CB?2?DA，在?ADC中，AD2?AC2?CD2?2AC?CDcosC，
22uuuv1uuuvuuuvaab??2（注：也可将CA?CB?2?DA两边平方）即4?b????，
22?2?a2b2abab，所以ab?8，当且仅当a?4,b?2时取等号． ?2??422此时S?ABC?13absinC?ab，其最大值为23. 24点睛：该题考查的是有关三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理，诱导公式，和角公式，向量的平方即为向量模的平方，基本不等式，三角形的面积公式，在解题的过程中，需要正确使用相关的公式进行运算即可求得结果.
20．若a?0,b?0,且
11??ab ab（1）求a3?b3的最小值；
（2）是否存在a,b，使得2a?3b?6？并说明理由. 【答案】（1）42；（2）不存在. 【解析】 【分析】 （1）由已知
11??ab，利用基本不等式的和积转化可求ab?2，利用基本不等式可将a3?b3转化为ab（2）由基本不等式可求2a?3b的最小值为43，而ab，由不等式的传递性，可求a3?b3的最小值；
43?6，故不存在．
【详解】 （1）由ab?112??，得ab?2，且当a?b?abab2时取等号．
故a3?b3?2a3b3?42，且当a?b?所以a3?b3的最小值为42；
2时取等号．
（2）由（1）知，2a?3b?26ab?43．
由于43?6，从而不存在a,b，使得2a?3b?6成立． 【考点定位】 基本不等式．
Sn为?an?的前n项和，21．已知?an?为各项均为整数的等差数列，若a3为
（1）求数列?an?的通项公式； （2）若Tn?1S7?49. a2和a13的等比中项，
322222018???...?. ，求最大的正整数n，使得Tn?a1a2a2a3a3?a4anan?12019【答案】（1）an?2n?1（2）1008 【解析】 【分析】
（1）用基本量求出首项a1和公差d，可得通项公式；
（2）用裂项相消法求得和Tn，然后解不等式Tn?【详解】
2018可得． 201912?21?a?a?aa?2d???a1?d??a1?12d??3??1213 解：（1）由题得?，即?33???7a1?21d?49?S7?49?a?0?a1?1?1解得?或?7
d?2d???3??a1?1a因为数列?n?为各项均为整数，所以?，即an?2n?1
?d?2（2）令bn?所以Tn?1?2211??? anan?1?2n?1??2n?1?2n?12n?1111111112n2018???????1??? 335572n?12n?12n?12n?1201912018?即1?，解得n?1009 2n?12019所以n的最大值为1008
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式，考查裂项相消法求数列的和．在等差数列和等比数列中基本量法是解题的基本方法．
22．《山东省高考改革试点方案》规定：从2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020年开始，高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成．将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、B?、B、C?、C、D?、D、E共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%．选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[91,100]、[81,90]、[71,80]、
[61,70]、[51,60]、[41,50]、[31,40]、[21,30]八个分数区间，得到考生的等级成绩．某校高一年级共
2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布N(60,169)．
（1）求物理原始成绩在区间(47,86)的人数；
（2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X表示这3人中等级成绩在区间[61,80]的人数，求X的分布列和数学期望． （附：若随机变量?~N?,??2?，则P(?????????)?0.682，P(??2??????2?)?0.954，
P(??3??????3?)?0.997）