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全概率公式与贝叶斯公式的应用及推广
摘 要：全概率公式与贝叶斯公式是概率论中两个重要的公式,在实际中有广泛的
应用.本文对“全概率公式及贝叶斯公式”进行仔细分析,用例子说明了它们的用法.另外在推广方面,给出了给出了事件发生概率的矩阵表达式.
关键词：全概率公式; 贝叶斯公式; 应用; 推广
The Application and Promotion of Total Probability Formula
and Bayes Formula
Abstract：Total probability formula and bayes formula are two important formulas,they
have wide application in reality. This article carries on the careful analysis to the total probability formula and the Baye formula, explained their usage with the example. Moreover ,in the their probability, the matrix expression of the probability of events also have been given.
Key words：Total Probability Formula ;Bayes Formula; Application; Promotion
引言
一个随试验的样本空间都可以找到有限个或可列个基本事件构成一个分割，任一复合事件都可以由这几类基本事件组合而成．如：有n个袋子，各装有白球和黑球，任意选取一袋，取出一球，则\取出一球为白球”这一事件，可由“从第一袋中取出一
“球为白球”，“从第二袋中取出一球为白球”，?，从第n袋中取出一球为白球”任意
复合而成．对这类问题从概率上表达时发生可能性之间关系的公式就是全概率公式，与其互逆的即为贝叶斯公式．
1.全概率与贝叶斯公式
1.1全概率公式 1.1.1 公式简述
全概率公式的内容简述如下：
设事件A１,A２,?,An(或A１,A２,?,An，?)为样本空间?的一个分割或完全事件组，
即满足： (1)A1A2??i?j?
1
n?(2)?Ai??(或?Ai??)
i?1i?1则对?中任一事件B，有
n?iiiiP?B???P?A??P?B|A?或P?B???P?A??P?BA? （1.1.1）
i?1i?1证明
n?n?B?B??B??????BAI?i?1?i?1?，且AB1,AB2,?,ABn互不相容
所以又由可加性可得
?n?P?B??P???BAi????i?1?n?P?BA?
ii?1再将P?Bi??P?Ai?P?B|Ai?，ｉ=1，2，?，ｎ代入上式即得（1.1.1）式．
n分析 (1)从形式上看，公式的右边?P?Ai??P?B|Ai?比左边P?B?复杂，实质上，定理
i?1中给出的条件\任一B事件\往往很复杂，要直接求出B的概率P(B)很难．若能把事件B分解为许多简单的，互不相容的事件之和，且这些事件的概率可求，则求出P?B?就简单多了．从上面的证明看，也可以看出这个思路．所以，应用全概率公式解实际问题关键是从已知条件中找到有限个或可列个事件构成一个分割，并且公式中一些事件的概率和条件概率能从题设中求得．它体现了\各个击破，分而食之\的解题策略，有众多应用．从下面几个例子中可以加深对它的了解．
(2)全概率公式的最简单形式：假如0?P(A)?1，即A,A构成样本空间的一个分割，则
P(B)?P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)
(3)条件A1,A2,?,An为将本空间的一个分割，可改成A1,A2,?,An互不相容，且
nB??i?1Ai，则（1.1.1）式仍然成立．
1.1.2 应用例证
例1 (摸奖模型)设在n张彩票中有一张奖券,求第二人摸到奖券的概率是多少?
2
解 设Ai表示\第i人摸到奖券\,i?1,2,?,n
因为A1是否发生会影响到A2发生的概率,有P?A2|A1??0,P?A2|A1??同时A,A是两个概率大于0的事件，P?A1??可由全概率公式得
P(A2)?P(A1)P(A2|A1)?P(A1)P(A2|A1)?1n?0?n?1n?1n?1?1n1n,PA1?1n?1
??n?1n
同理可得
1nP(A3)?P(A4?)??P(An)?
这说明，抽奖时，不论先后，中奖机会是均等的．
例2 甲文具盒内有2支蓝色笔和3支黑色笔，乙文具盒内也2支蓝色笔和3支黑色笔．现从甲文具盒中任取两支放入乙文具盒，然后再从乙具盒中任取两支．求最后取出的两支笔都为黑色笔的概率．
解 以Ai记为从甲文具盒中取出放入乙文具盒中的黑色笔数，i?0,1,2． 以B记最后取出的两支笔都为黑色笔，则
P(A0)?CCC225023203?110，P(A1)?CCC225113?35，P(A2)?CCC225023?310.
而
P(B|A0)?CCC427?321，P(B|A1)?CCC327024?621，P(B|A2)?CCC227025?1021.
因此
2P(B)??i?0P(Ai)P(B|Ai)?11021?3?61021?6?31021?10?2370.
分析 A0,A1,A2是构成样本空间的一个分割,这是应用全概率公式的典型题型． 总结
(1) 由上述两可以总结出应用全概率公式问题的一般解题思路 ①确定所求事件，并依题意将样本空间进行正确分割；
②列出已知数据，在例1中求事件A2发生概率P(A2)时，将P?A1?,P?A1?，条件概率P?A2|A1?,P?A2|A1?写出或求出，一般使用古典概率的方法
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③将已知数据代入全概率公式．将P?A1?,P?A1?与对应的条件概率
P?A|A?,P21?2A|A乘法公式后相加，即求出P(A)． ?用
12(2) 全概率公式中的P(B)称为全概率，它的本质是一种平均概率．因为事件B的出现概率依赖于各个事件A1,A2,?,An．在各个事件下，事件B的条件概率P(B|Ai)是不同的．概率P(B)是这些条件概率P(B|Ai)的加权平均值．这样可以更好的记忆全概率公式．
1.2贝叶斯公式 1.2.1公式简述
在乘法公式和全率公式的基础上可推得一个很著名的公式，这就是贝叶斯公式。简述如下：
在全概率公式相同的条件下，有
P(AiB)?P(B)P(Ai|B)?P(Ai)P(B|Ai)
故
P(Ai|B)?P(Ai)P(B|Ai)P(B)
再把全概率公式代入，即有
P(Ai|B)?P(Ai)P(B|Ai)n
?P(Aj?1j)P(B|Aj)这个公式称为贝叶斯公式． 1.2.2要点
对贝叶斯公式，假定A1，A2，?是导致试验结果B的原因，P(Ai)称为先验概率，它反映了各种原因发生的可能性的大小，般在试验前已确定．条件概率P(Ai|B)称为后验概率，它反映了试验后对各种原因发生的可能性的大小．贝叶斯公式主要用于由结果B的发生来探求导致这一结果的各种原因Ai发生地可能性大小．即专门用于计算后验概率的．通过B的发生这个新信息，来对Ai的概率作出的修正，下面的例子可以很好地说明这一点． 1.2.3 应用例证
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