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?SBGX概率统计(理工类)? 习题1解答 事件的概率 第 41 页 共 69
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?0X~?1??4求概率P{X?Y}．
1122??0??1?，Y~?14??41122?? 1?，4?解 注意，两个随机变量同分布，并不意味着它们相等，只说明它们取同一值的概率相等．由全概率公式及X和Y相互独立，可见
P{X?Y}?P{X?0,Y?0}?P{X?1,Y?1}?P{X?2,Y?2} ?P{X?0}P{Y?0}?P{X?1}P{Y?1}?P{X?2}P{Y?2}
9?1??1??1? ??????????．?2??4??2?163.16 证明X和Y独立，假设随机变量X和Y联合密度为
222?2e?xe?2y，若x?0，y?0，f(x,y)??
0 ，若x?0 或 y?0．?证明 以f1(x)和f2(y)分别表示X和Y概率密度．当x?0时f1(x)＝０；当y?0时f2(y)＝０；对于
x?0,y?0，有
f1(x)????????f(x,y)dy?e?x?2e?2ydy?e?x，0?? f2(y)????f(x,y)dx?2e?2y???0
2edx?2e．?x?2y于是，f(x,y)?f1(x)f2(y)，即随机变量X和Y独立．
3.17 假设一微波线路有两个中间站，它们无故障的时间X和Y是随机变量，其联合分布函数为
?1?e?0.01x?e?0.01y?e?0.01(x?y)，若x?0，y?0，F(x,y)??
? 0 ，若不然．(1) 求两个中间站连续100小时无故障的概率?； (2) 证明X和Y相互独立． 解 (1) 连续100小时无故障的概率
??P{X?100,y?100}?1?F(100,??)?F(??,100)?F(100,100) ?1?e?1?e?1?e?2?1?2e?1?e?2?0.1353．(2) 现在证明X和Y相互独立．以F1(x)和F2(y)分别表示X和Y的分布函数，则
F1(x)?F(x,??)?1?e?0.01x， ?0.01yF2(y)?F(??,y)?1?e；由于F(x,y)?F1(x)F2(y)，可见X和Y相互独立．
3.18 假设离散型随机变量X和Y独立同分布：
P{X?xk}?P{Y?yk}?pk(0?pk?1)，
求P{X?Y}．
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解 由于X和Y独立，可见
2， P?X?Y???P{X?xk,Y?yk}??P{X?xk}P{Y?yk}??pkk?1k?1k?1???其中级数显然收敛．
三、随机变量的函数
3.19 假设G?{(x,y):0?x?2, 0?y?1}是一矩形，随机变量X和Y的联合分布是区域G上的均匀分布．考虑随机变量
?0，若X?Y，?0，若X?2Y， U?? V??1，若X?Y；1，若X?2Y．??求U和V的联合概率分布．
解 易见，若(x,y)?G，则随机变量X和Y的联合密度为f(x,y)?12，否则f(x,y)?0．
?1x,y)?G，?，若( f(x,y)??2?x,y)?G．?0，若(直线x?y和x?2y将G分为三部分(见插图)：G1?{x?y}，
y x= y x =2y 1 G1 G2 G3 O 例3.19插图
2 x G2?{y?x?2y}，G3?{x?2y}．易见
1P{X?Y}?P{(X,Y)?G1}?，41P{Y?X?2Y}?P{(X,Y)?G2}?，
41P{X?2Y}?P{(X,Y)?G3}?．2随机变量U和V的联合概率分布:(U,V)有(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)等4个可能值，因此
1P{U?0,V?0}?P{X?Y,X?2Y}?P{X?Y}?，4P{U?0,V?1}?P?X?Y,X?2Y??0，1
P{U?1,V?0}?P?X?Y,X?2Y??P?Y?X?2Y??，4111P{U?1,V?1}?1???．442于是，U和V的联合分布为
?(0,0)(1,0)(1,1)??． (U,V)~?111????42??43.20 假设随机向量(X,Y)在以点(0,1),(1,0),(1,1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布．试求随机变量
Z?X?Y的概率密度f(z)．
解 G??(x,y):0?x?1,0?y?1;x?y?1?是以点(0,1),(1,0),(1,1)
y 1 G x+y>1 x+y=1
x
O x+y<1 1 第3.20题插图
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为顶点的三角形区域，其面积等于1/2(见插图)．随机向量(X,Y)的概 率密度为
?2，若(x,y)?G， f(x,y)??0，若(x,y)?G.?显然，当z?1或z?2时，f(z)?0；设1?z?2．只有当0?x?1
且0?z?x?1时，即当0?z?1?x?1时，f(x,z?x)?2，否则f(x,z?x)?0，故
f(z)??于是，随机变量Z?X?Y的概率密度
????f(x,z?x)dx??2dx?2(2?z)．
z?11?2(2?z)，若1?z?2, f(z)?? 0 ，若不然．?3.21 已知随机变量X和Y的联合概率分布
?X,Y?~?求X和U?X?Y的概率分布．
??0,0??0.10?0,1??1,0??1,1??2,0??2,1??，
0.150.250.200.15?0.15?解 (1) X的概率分布．X和Y各有0,1,2等3个可能值，由X和Y的联合可得
P{X?0}?P{X?Y?0}?P{X?0,Y?1}?0.10?0.15?0.25，P{X?1}?P{X?1,Y?0}?P{X?1,Y?1}?0.25?0.20?0.45，P{X?2}?P{X?2,Y?0}?P{X?2,Y?1}?0.15?0.15?0.30；
12??0 X~??．0.250.450.30??(2) U?X?Y的概率分布．易见U有0,1,2,3四个可能值，因此
P{U?0}?P{X?0,Y?0}?0.10， P{U?1}?P{X?1,Y?0}?P{X?0,Y?1} ?0.25?0.15?0.40，
P{U?2}?P{X?2,Y?0}?P{X?1,Y?1} ?0.15?0.20?0.35，P{U?3}?P{X?2,Y?1}?0.15．123??0U~? ?．0.100.400.350.15??3.22 设随机变量X和Y独立，X的概率分布和Y的概率密度相应为：
?0X~?1??2求随机变量Z?X?Y的概率分布．
解 易见Y的分布函数为
1??1，若y?[0,1]，?， Y~f(y)? ?1?0，若y?[0,1]，?2?
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? 0，若y?0 ，?F(y)??y，若0?y?1，
? 1，若y?1．?设G(z)是Z?X?Y的分布函数，则当z?0时G(z)?0；当z?2时G(z)?1；设0?z?1，有
G(z)?P{Z?z}?P{X?Y?z}?P{X?Y?z,X?0}?PX?Y?z,X?1} ?P{X?0,Y?z}?P{X?1,Y?z?1}11?P{X?0}P{Y?z} ?P{Y?z}?z；22对于1?z?2，有
P{Z?z}?P{X?Y?z}?P{X?Y?z,X?0}?PX?Y?z,X?1} ?P{X?0,Y?z}?P{X?1,Y?z?1} ?P{X?0}P{Y?z} ?P{X?1}P{Y?z?1}111 ?[P{Y?z}?P{Y?z?1}]?[1?z?1]?z．222因此Z?X?Y的分布函数为
? 0，若z?0，??zG(z)??，若0?z?2，
2??? 1，若z?2，于是，随机变量Z?X?Y的概率分布是区间[0,2]上的均匀分布．
3.23 已知随机向量(X,Y)的概率密度为
?x?y，若0?x,y?1，f(x,y)??
0 ，其他．?求随机变量U?X?Y的概率密度f(u)．
解 对于u?0和u?2，显然f(u)=0．
(1) 设0?u?1．注意到，当x?u时f(x,u?x)=0．因此，由二随机变量之和的概率密度公式，有
f(u)??????f(t,u?t)dt??(t?u?t)dt?u2．
0u(2) 设1?u?2．注意到当x?u?1时f(x,u?x)?0．由二随机变量之和的概率密度公式，有
f(u)??????f(t,u?t)dt??(t?u?t)dt?u(2?u)．
u?11于是，随机变量U?X?Y的概率密度
? u２ ，若0?u?1 ，?f(u)??u(2?u)，若1?u?2 ，
? 0 ，其他．?3.24 设随机变量X和Y的联合密度为