发布时间 : 星期三 文章2020版新高考二轮复习理科数学专题强化训练(二十二) 选修4-4 坐标系与参数方程Word版含解析更新完毕开始阅读
专题强化训练(二十二) 选修4-4 坐标系与参数方程 1.[2019·济南模拟]在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为
??x=3cosθ,?(θ为参数),以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极??y=1+3sinθ
π??
轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρsin?θ+6?=23.
??
(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程;
π
(2)射线OP的极坐标方程为θ=6,若射线OP与曲线C的交点为A,与直线l的交点为B,求线段AB的长.
???x=3cosθ,?x=3cosθ,
解:(1)由?可得?
???y=1+3sinθ,?y-1=3sinθ,
所以x2+(y-1)2=3cos2θ+3sin2θ=3, 所以曲线C的普通方程为x2+(y-1)2=3.
?3?π??1
由ρsin?θ+6?=23,可得ρ?sinθ+cosθ?=23,
2???2?
31
所以2ρsinθ+2ρcosθ-23=0,
所以直线l的直角坐标方程为x+3y-43=0. (2)解法一:曲线C的方程可化为x2+y2-2y-2=0, 所以曲线C的极坐标方程为ρ2-2ρsinθ-2=0. π?π???
由题意设A?ρ1,6?,B?ρ2,6?,
????
π
将θ=6代入ρ2-2ρsinθ-2=0,得ρ21-ρ1-2=0, 所以ρ1=2或ρ1=-1(舍去).
π??π
将θ=6代入ρsin?θ+6?=23,得ρ2=4,
??所以|AB|=|ρ1-ρ2|=2.
π
解法二:因为射线OP的极坐标方程为θ=6,
3
所以射线OP的直角坐标方程为y=3x(x≥0). 由?3y=?3x?x>0?
22x+?y-1?=3,?
解得A(3,1).
?x+3y-43=0,由?3
y=?3x?x>0?
解得B(23,2),
所以|AB|=?23-3?2+?2-1?2=2.
2.[2019·武汉4月调研]在直角坐标系xOy中,以坐标原点O为π??2
??θ+极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1:ρsin4?=2,?1
C2:ρ=.
3-4sin2θ
2
(1)求曲线C1,C2的直角坐标方程;
(2)曲线C1和C2的交点为M,N,求以MN为直径的圆与y轴的交点坐标.
π??2??θ+解:(1)由ρsin4?=2得 ?ππ??2
??ρsinθcos4+cosθsin4=2, ??
??ρsinθ=y,将?代入上式得x+y=1, ?ρcosθ=x?
即C1的直角坐标方程为x+y-1=0, 122同理由ρ=2可得3x-y=1, 3-4sinθ
2
∴C2的直角坐标方程为3x2-y2=1
(2)先求以MN为直径的圆,设M(x1,y1),N(x2,y2),
22
??3x-y=1,由?得3x2-(1-x)2=1, ??x+y=1
??x1+x2=-1,
即x+x-1=0,∴?
?x1x2=-1,?
2
?13?
则MN的中点坐标为?-2,2?,
??
1-4×?-1?
∴|MN|=1+?-1?|x1-x2|=2×=10. 1
2∴以MN为直径的圆的方程为 1?2?3?2?10?2?
?x+?+?y-?=??2??2??2?, ?
3?9?1?3?10
令x=0,得4+?y-2?2=4,即?y-2?2=4,∴y=0或y=3,
?
?
?
?
∴以MN为直径的圆与y轴的交点的坐标为(0,0)或(0,3). 3.[2019·合肥质检二]在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程
??x=2cosα,为?(α为参数).以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建?y=sinα?
立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2=4ρsinθ-3.
(1)写出曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程;
(2)若P,Q分别为曲线C1,C2上的动点,求|PQ|的最大值. 解:(1)由曲线C1的参数方程消去参数得,曲线C1的普通方程为x22
4+y=1.
将x2+y2=ρ2,y=ρsinθ代入曲线C2的极坐标方程得,曲线C2
的直角坐标方程为x2+y2=4y-3,
即x2+(y-2)2=1.
(2)由(1)知曲线C2是以C(0,2)为圆心,1为半径的圆. 设P点的坐标为(2cosα,sinα), 则
|PQ|≤|PC|
+
1
=
4cos2α+?sinα-2?2+
1
=
-3sin2α-4sina+8+1,
2221
当sinα=-3时,|PQ|max=3+1.
4.[2019·郑州质量预测二]在平面直角坐标系xOy中,以O为极
点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为
?
ρcosθ+3ρsinθ=12,直线l的参数方程为?2
?y=2t
2
2
2
2
2
x=-2+2t,
(t为
参数),直线l与曲线C交于M,N两点.
(1)若点P的极坐标为(2,π),求|PM|·|PN|的值; (2)求曲线C的内接矩形周长的最大值.
解:(1)由ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12得x2+3y2=12,故曲线C的直x2y2
角坐标方程为12+4=1,点P的直角坐标为(-2,0),
?
将直线l的参数方程?2
y=?2t
x2y2
方程12+4=1中,
2
x=-2+2t,
代入曲线C的直角坐标
得t2-2t-4=0,设点M,N对应的参数分别为t1,t2,则|PM|·|PN|=|t1t2|=4.
x2y2
(2)由曲线C的直角坐标方程为12+4=1,可设曲线C上的动点π
A(23cosθ,2sinθ),0<θ<2,
则以A为顶点的内接矩形的周长为4(23cosθ+2sinθ)=π??π
16sin?θ+3?,0<θ<2. ??
π
因此该内接矩形周长的最大值为16,当且仅当θ=6时取得最大值.
5.[2019·石家庄一模]在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数
??x=rcosα+2,方程为?(α为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正
?y=rsinα,?