发布时间 : 星期四 文章指数函数多项式展开及其应用更新完毕开始阅读
合肥师范学院2013届本科生毕业论文（设计）
1 引言
指数函数是重要的基本初等函数之一，作为常见函数，它既是函数概念及性质的第一次应用，也是学习对数函数的基础，在生活及生产实际中有着广泛的应用.多项式理论在代数中也占有十分重要的地位，且在数学的各门学科中都有着广泛的运用.关于多项式的定义，在1981年12月第一版统编六年制重点中学高中数学课本《代数》第一册中说“一个多项式的元和系数都在实数集上取值时，这个多项式就叫做实数集R上的多项式”，这个说法前一句讲的是多项式函数，而后一句却有问题，1983年11月第一版统编6年制重点中学高中数学课本《代数》第三册把这段话删去了，改为“以x为元的一元n次多项式的一般形式可以写成anxn?an?1xn?1???a1x?a0这里n是确定的自然数，an?0”[1].
2 指数函数的多项式展开
多项式函数是各类函数中最简单的一种，用多项式逼近函数是近似计算和理论分析的一个重要内容.泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容，它将一些复杂函数近似的表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能，使它成为分析和研究其他数学方面问题的有力杠杆.
2.1 函数多项式展开的概念
定义[2] 指数函数的多项式展开即泰勒展开，对于一般的函数f?x?，假设它在一点x0存在直到n阶的导数，且多项式Tn?x?由这些导数构成，即
Tn?x??f?x0??f'?x0?1! 装 订 线
?x?x0??f''?x0?2!?x?x0????2f?n??x0?n!?x?x0?n
该式称为函数f?x?在该点处的泰勒公式. 指数函数在点x0处的泰勒展开式为
f''?x0?f???x0?2nna?f?x??f?x0??f?x0??x?x0???x?x0?????x?x0????Tn?x??o?x?x0?2!n!
x'n??这里o?x?x0?称为佩亚诺型余项.
?n?2.2 泰勒展开式的证明
泰勒公式的证明方法有许多种，本文利用最基本的方法给出泰勒公式的证明.
定理[2] 若函数f?x?在点x0存在直至n阶导数，则有f?x??Tn?x??o?x?x0?，即
n??f''?x0?f???x0?2nnf?x??f?x0??f?x0??x?x0??x?x???x?x?ox?x???0?0?0?2!n!'n?? 1
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证明:不妨设Rn?x??f?x??Tn?x?，Qn?x???x?x0? 则只要证明
nRn?x?lim?0 x?x0Q?x?n又知
Rn?x0??R'n?x0??R''n?x0????R?且
n?n?x0??0
?n?x?0Q，??n0n?x0??n!
?n??n?1?因为f?x0?存在，所以在点x0的某邻域U?x0?内f存在n?1阶导函数f?x?.
.于是，当x?U?x0?且x?x0时，允许接连使用洛必达法则n?1次，得到
Qn?x0??Q'n?x0??Q''n?x0????Q?n?1??x??limlim?lim'???lim?n?1?x?xQ?x?x?xQ?x?x?xQ?x?x?xnnn000Rn?x?Rn'?x?Rn?n?1?f?n?1?0?x??f?n?1??x0??f?n??x0??x?x0?n?n?1??2?x?x0?
?f?n?1??x??f?n?1??x0??1?n??lim??f?x0???0
x?x0n!x?x0????2.3 指数函数多项式逼近图
2.3.1 指数函数y?ex的多项式逼近
根据
2.1
可以写出指数函数y?ex的泰勒展开式为
x2x3xny=1+x+++?++?，现在我们利用数学作图工具MATLAB做出指数函数y?ex2!3!n!与其泰勒展开式中n分别取3、4、5时得到的不同的指数函数多项式逼近函数的图像.这里为了更加清晰明了的做出误差比较与分析，则会做出三张图片，分别为指数函数y?ex与
x2x3n=3时得到的多项式逼近函数y?1?x??在同一坐标系下的函数图像比较、指数函
2!3!x2x3x4数y?e与n=4时得到的多项式逼近函数y?1?x???在同一坐标系下的函数图
2!3!4!xx2x3x4x5像比较、指数函数y?e与n=5时得到的逼近函数y?1?x????在同一坐标
2!3!4!5!x系下的函数图像比较，最后将根据图象分析指数函数与其逼近函数之间的关系并做出误差分析，得出结论[3].
2
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x2x3【例1】利用MATLAB在同一坐标系中做出函数y?e、y?1?x??、
2!3!xx2x3x4x2x3x4x5 y?1?x???、y?1?x????的图像并做比较.
2!3!4!2!3!4!5!x2x3解：a、y?e与y?1?x??图像的比较
2!3!xy=ex
x2x3y?1?x??2!3!
x2x3x4??图像的比较 b、y?e与y?1?x?2!3!4!xy=ex
x2x3x4y?1?x??? 2!3!4!
3
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x2x3x4x5c、y?e与y?1?x????的图像比较
2!3!4!5!xy=ex
x2x3x4x5y?1?x???? 2!3!4!5!
根据上述例题我们可以看出原指数函数y?ex与其不同程度的多项式逼近函数均有着某种程度的逼近，且当n的取值不同时原指数函数与其多项式逼近函数的逼近程度也不同.对比图像我们可以看出在指数函数的泰勒展开式中随着n取值的增大，原指数函数与其逼近函数的图像越接近误差越小. 2.3.2 指数函数y?e?x的多项式逼近
同样根据2.1的多项式展开概念，可得出指数函数y?e?x的泰勒展开式为
nx2x3nxy=1-x+-+?+(-1)+?.依旧利用数学作图工具MATLAB做出指数函数
2!3!n!y?e?x与其泰勒展开式中n分别取3、4、5时的多项式逼近函数的函数图.同理为了更加清
晰的比较不同指数函数与它们各自的多项式逼近函数的逼近趋势是否一致，仍旧作出三张
11图片，分别为指数函数y?e?x与n=3时的多项式逼近函数y?1?x?x2?x3在同一坐
2!3!标系下的函数图像、指数函数y?e?x与n=4时的多项式逼近函数
121314x?x?x在同一坐标系下的函数图像、指数函数y?e?x与n=5时的多2!3!4!1111项式逼近函数y?1?x?x2?x3?x4?x5在同一坐标系下的函数图像，做出图像并
2!3!4!5!分析图像，得出结论[3]. y?1?x? 4