发布时间 : 星期三 文章湖北省咸宁市通城二中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷更新完毕开始阅读
15．（5分）一束光线从点A（﹣2，2）出发．经X轴反射到⊙C：（x﹣2）+（y﹣3）=1上的路径最短长度是﹣1．
考点： 与直线关于点、直线对称的直线方程． 专题： 直线与圆．
分析： 求出点A关于x轴的对称点A′，则要求的最短路径的长为A′C﹣r（圆的半径），计算求得结果．
解答： 解：由题意可得圆心C（2，3），半径为r=1，点A关于x轴的对称点A′（﹣2，﹣2）， 求得A′C=，则要求的最短路径的长为A′C﹣r=﹣1， 故答案为：﹣1．
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点评： 本题主要考查反射定理的应用，求一个点关于直线的对称点的方法，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．
三、解答（75分） 16．（12分）某城市电话号码为7位数．如果从电话号码中任取一个电话号码（各位号码数字不加限制） 求：
（1）头二位数字是7的概率； （2）头二位数字不超过7的概率．
考点： 古典概型及其概率计算公式． 专题： 概率与统计．
分析： 由分步计数原理可得总的基本时间共100种，（1）符合题意的共1种，（2）符合题意的共64种，分别有古典概型的概率公式可得．
解答： 解：∵头两位数字分别有10种取法，∴基本事件总数为10×10=100．
（1）头两位数字为7仅一种取法，∴所求概率P=；
=
．
（2）头两位数字不超过7有8×8=64种取法，∴所求概率P′=
点评： 本题考查古典概型及其概率公式，涉及分步计数原理，属基础题．
17．（12分）求平行于x+y+9=0且被圆x+y=25截得弦长为5
2
2
的弦所在的直线方程．
考点： 直线与圆相交的性质． 专题： 计算题；直线与圆．
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分析： 设所求直线方方程为x+y+c=0，利用直线被圆x+y=25截得弦长为5
，可得
，即可求出直线方程．
解答： 解：设所求直线方方程为x+y+c=0，则， ∵直线被圆x+y=25截得弦长为5∴
，
2
2
，
∴c=±5，
∴所求直线方方程为x+y±5=0．
点评： 此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，勾股定理，垂径定理，熟练掌握定理及公式是解本题的关键． 18．（12分）某种零件按质量标准分为1，2，3，4，5五个等级，现从一批该零件巾随机抽取20个，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如下 等级 1 2 3 4 5 频率 0.05 m 0.15 0.35 n （1）在抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，求m，n；
（2）在（1）的条件下，从等级为3和5的所有零件中，任意抽取2个，求抽取的2个零件等级恰好相同的概率．
考点： 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；收集数据的方法． 专题： 图表型；概率与统计．
分析： （1）通过频率分布表得推出m+n=0.45．利用等级系数为5的恰有2件，求出n，然后求出m．
（2）根据条件列出满足条件所有的基本事件总数，“从x1，x2，x3，y1，y2，这5件日用品中任取两件，等级系数相等”的事件数，求解即可． 解答： 解：（1）由频率分布表得 0.05+m+0.15+0.35+n=1， 即 m+n=0.45．…（2分）
由抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，
得 ．…（4分）
所以m=0.45﹣0.1=0.35．…（5分） （2）：由（1）得，等级为3的零件有3个，记作x1，x2，x3；等级为5的零件有2个， 记作y1，y2．从x1，x2，x3，y1，y2中任意抽取2个零件，所有可能的结果为：（x1，x2），（x1，x3），（x1，y1），（x1，y2），（x2，x3），（x2，y1），（x2，y2），（x3，y1），（x3，y2），（y1，y2） 共计10种．…（9分）
记事件A为“从零件x1，x2，x3，y1，y2中任取2件，其等级相等”． 则A包含的基本事件为（x1，x2），（x1，x3），（x2，x3），（y1，y2）共4个．…（11分） 故所求概率为
．…（13分）
点评： 本题考查概率、统计等基本知识，考查数据处理能力、运算能力、应用意识．
19．（12分）实数x，y满足x+y+6x+5=0，求
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的最大值与最小值．
考点： 直线与圆的位置关系；直线的斜率． 专题： 直线与圆．
分析： 化简圆的方程为标准方程，求出圆心与半径，利用所求表达式的几何意义求解即可．
解答： （12分）解：由已知可知圆：（x+3）+y=4是（﹣3，0）为圆心，2为半径的圆．
表示圆上的点与（1，2）的斜率，由图可知最小值为0，最大值时设斜率为k， 则直线为：y﹣2=k（x﹣1）， 利用此时直线与圆相切， 可得：
可求得k=，即为最大值．
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的最大值与最小值分别为：；0．
点评： 本题考查直线与圆的方程的位置关系，基本知识的考查． 20．（12分）甲．乙两人约定早上7：00 到8：00之间在某地见面．并约定先到者要等候另一人20分钟，过时即可离开．求甲乙两人能见面概率．
考点： 几何概型．
专题： 计算题；概率与统计．
分析： 由题意知本题是一个几何概型，试验包含的所有事件是Ω={（x，y）|7＜x＜8，7＜y＜8}，做出事件对应的集合表示的面积，写出满足条件的事件是A={（x，y）|7＜x＜8，7＜y
＜8，|x﹣y|＜}，算出事件对应的集合表示的面积，根据几何概型概率公式得到结果．
解答： 解：由题意知本题是一个几何概型，设事件A为“两人能会面”，
试验包含的所有事件是Ω={（x，y）|7＜x＜8，7＜y＜8}，并且事件对应的集合表示的面积是s=1，
满足条件的事件是A={（x，y）|7＜x＜8，7＜y＜8，|x﹣y|＜所以事件对应的集合表示的面积是1﹣2×
=，
}
根据几何概型概率公式得到P=．
点评： 本题是一个几何概型，对于这样的问题，一般要通过把试验发生包含的事件同集合结合起来，根据集合对应的图形做出面积，用面积的比值得到结果． 21．（15分）甲乙两位学生参加数学竞赛培训，在培训期间他们参加5次预赛成绩记录如下： 甲：78 76 74 90 82 乙：90 70 75 85 80 （Ⅰ）用茎叶图表示这两组数据；
（Ⅱ）从甲乙两人成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率；
（Ⅲ）现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？说明理由．
考点： 古典概型及其概率计算公式；茎叶图；极差、方差与标准差． 专题： 概率与统计．
分析： （Ⅰ）直接由图表给出的数据画出茎叶图即可；
（Ⅱ）利用列举法写出从甲乙两人成绩中各随机抽取一个的所有情况，查出甲的成绩比乙高的情况个数，由古典概型的概率计算公式求解；
（Ⅲ）求出两组数据的平均数及方差，则答案可求． 解答： 解：（Ⅰ）茎叶图如图，
（Ⅱ）解法一：从甲乙两人所得成绩中各随机抽取一个，所有情况如下： （78，90）（78，70）（78，75）（78，85）（78，80） （76，90）（76，70）（76，75）（76，85）（76，80） （74，90）（74，70）（74，75）（74，85）（74，80） （90，90）（90，70）（90，75）（90，85）（90，80） （82，90）（82，70）（82，75）（82，85）（82，80） 共有25种，而甲大于乙的情况有12种 所以p=
．
解法二：从甲乙两人所得成绩中各随机抽取一个，所有情况种数：5×5=25种 其中甲大于乙的情况有（78，70），（78，75），（76，70），（76，75），（74，70），（90，70）， （90，75），（90，85），（90，80），（82，70），（82，75），（82，80）共12种 所以p=
．
（Ⅲ）
，
，
=32，
=50．
因为
，
所以选甲参加更合适．
点评： 本题考查了茎叶图，考查了古典概型及其概率计算公式，考查了平均数与方差，是基础的运算题．