发布时间 : 星期二 文章高考数学考前三个月复习冲刺压轴大题突破练2直线与圆锥曲线(二)理更新完毕开始阅读
【步步高】（全国通用）2016版高考数学复习 考前三个月 压轴大题
突破练2 直线与圆锥曲线（二 ）理
x2y23xy451.设椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率e＝，左顶点M到直线＋＝1的距离d＝，ab2ab5O为坐标原点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l与椭圆C相交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点，证明：点O到直线AB的距离为定值.
3x23xy2.若直线l：y＝－过双曲线2－2＝1 (a>0，b>0)的一个焦点，且与双曲线的一条
33ab渐近线平行. (1)求双曲线的方程；
(2)若过点B(0，b)且与x轴不平行的直线和双曲线相交于不同的两点M，N，MN的垂直平分线为m，求直线m在y轴上的截距的取值范围.
2
2
1
3.(2015·郑州市第二次质量检测)已知平面上的动点R(x，y)及两定点A(－2,0)，B(2,0)，3
直线RA，RB的斜率分别为k1，k2，且k1k2＝－，设动点R的轨迹为曲线C.
4(1)求曲线C的方程；
(2)四边形MNPQ的四个顶点均在曲线C上，且MQ∥NP，MQ⊥x轴，若直线MN和直线QP交于点S(4,0).问：四边形MNPQ两条对角线的交点是否为定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.
2
4.已知抛物线C：x＝2py (p>0)的焦点为F(0,1)，过点F作直线l交抛物线C于A，B两点.椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，点F是它的一个顶点，且其离心率e＝3
. 2
2
(1)分别求抛物线C和椭圆E的方程；
(2)经过A，B两点分别作抛物线C的切线l1，l2，切线l1与l2相交于点M.证明：AB⊥MF； (3)椭圆E上是否存在一点M′，经过点M′作抛物线C的两条切线M′A′，M′B′(A′，B′为切点)，使得直线A′B′过点F？若存在，求出抛物线C与切线M′A′，M′B′所围成图形的面积；若不存在，试说明理由.
3
答案精析
压轴大题突破练2 1.(1)解 由e＝32，得c＝32
a，又b2＝a2－c2
， 所以b＝1
2
a，即a＝2b.
由左顶点M(－a,0)到直线x＋yab＝1， 即bx＋ay－ab＝0的距离d＝45
5，
得
|b－a－ab|452a2＋b2＝5，即aba2＋b2
＝45
5，
把a＝2b代入上式，得
4b2
5b＝
45
5
，解得b＝1. 所以a＝2b＝2，c＝3. 所以椭圆C的方程为x2
2
4＋y＝1.
(2)证明 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
①当直线AB的斜率不存在时，则由椭圆的对称性，可知x1＝x2，y1＝－y2. 因为以AB为直径的圆经过坐标原点，故→OA·→
OB＝0， 即x2
2
1x2＋y1y2＝0，也就是x1－y1＝0， 又点A在椭圆C上，所以x21
2
4＋y1＝1，
解得|x25
1|＝|y1|＝5
. 此时点O到直线AB的距离d25
1＝|x1|＝5. ②当直线AB的斜率存在时， 设直线AB的方程为y＝kx＋m，
?y＝kx＋m，与椭圆方程联立有???x2
?4
＋y2
＝1，
消去y，得(1＋4k2
)x2
＋8kmx＋4m2－4＝0， 2
所以xx8km4m－4
1＋2＝－1＋4k2，x1x2＝1＋4k2.
因为以AB为直径的圆过坐标原点O，所以OA⊥OB.
4