发布时间 : 星期三 文章三年高考(2016-2018)高考数学试题分项版解析 专题19 抛物线 理（含解析）更新完毕开始阅读
专题19 抛物线
考纲解读明方向 考点 内容解读 要求 常考题型 预测热度 1.抛物线的定义选择题 掌握 ★★★ 及其标准方程 解答题 2.抛物线的几何掌握抛物线的定义、几何图选择题 掌握 ★★★ 性质 形、标准方程及简单性质 解答题 3.直线与抛物线选择题 掌握 ★★★ 的位置关系 解答题 分析解读 1.熟练掌握抛物线的定义及四种不同的标准方程形式.2.会根据抛物线的标准方程研究得出几何性质,会由几何性质确定抛物线的标准方程.3.能够把直线与抛物线的位置关系的问题转化为方程组解的问题,判断位置关系及解决相关问题.4.本节在高考中以求抛物线的方程和研究抛物线的性质为主,分值约为12分,属偏难题.
2018年高考全景展示 1．【2018年理新课标I卷】设抛物线C：y=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，
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N两点，则=
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D
点睛：该题考查的是有关直线与抛物线相交求有关交点坐标所满足的条件的问题，在求解的过程中，首先需要根据题意确定直线的方程，之后需要联立方程组，消元化简求解，从而确定出于抛物线的方程求得
，之后借助
，最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标，之后应用向量数量积坐标公式求
得结果，也可以不求点M、N的坐标，应用韦达定理得到结果.
2．【2018年浙江卷】如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．
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（Ⅰ）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；
（Ⅱ）若P是半椭圆x+=1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．
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【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）
，根据中点坐标公式得PA,PB的中点坐标，代入抛物线
【解析】分析: （Ⅰ）设P,A,B的纵坐标为
方程，可得可表示
，即得结论，（Ⅱ）由（Ⅰ）可得△PAB面积为，利用根与系数的关系
为的函数，根据半椭圆范围以及二次函数性质确定面积取值范围.
详解：（Ⅰ）设，，．因为，的中点在抛物线上，所以，为方程，
即
轴．
的两个不同的实数根．所以．因此，垂直于
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，所以，．
因此，的面积
．因此，
．因为
面积的取值范围是
．
，所以
点睛：求范围问题，一般利用条件转化为对应一元函数问题，即通过题意将多元问题转化为一元问题，再根据函数形式，选用方法求值域，如二次型利用对称轴与定义区间位置关系，分式型可以利用基本不等式，复杂性或复合型可以利用导数先研究单调性，再根据单调性确定值域.
3．【2018年理北京卷】已知抛物线C：=2px经过点（1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．
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（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围； （Ⅱ）设O为原点，
，
，求证：
为定值．
【答案】(1) 取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）(2)证明过程见解析
详解：解：（Ⅰ）因为抛物线y=2px经过点P（1，2），所以4=2p，解得p=2，所以抛物线的方程为y=4x． 由题意可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y=kx+1（k≠0）．由
．依题意
得
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，解得k<0或0 故直线l不过点（1，-2）．从而k≠-3．所以直线l斜率的取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）． （Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．由（I）知，．直线PA的方程为 y–2=．令x=0，得点M的纵坐标为．同理得点N的纵坐 标为．由，得，．所以 ．所以 定值． 为 点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现. 2017年高考全景展示 1.【2017课标1，理10】已知F为抛物线C：y=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与 3 2 C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为 A．16 【答案】A 【解析】试题分析：设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),E(x4,y4)，直线l1方程为y?k1(x?1) B．14 C．12 D．10 ?y2?4x?2k12?42k12?42222联立方程?得k1x?2k1x?4x?k1?0∴x1?x2?? ?22kk11?y?k1(x?1)22k2?4同理直线l2与抛物线的交点满足x3?x4? 2k2由抛物线定义可知|AB|?|DE|?x1?x2?x3?x4?2p 22k12?42k2?44416???4???8?2?8?16 222k12k2k12k2k12k2当且仅当k1??k2?1（或?1）时，取得等号. 【考点】抛物线的简单性质 【名师点睛】对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，到定点的距离要想到转化到准线上，另外，直线与抛物线联立，求判别式、韦达定理是通法，需要重点掌握.考查到最值问题时要能想到用函数方法进行解决和基本不等式.此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为?，则|AB|?2p，则2cos?|DE|?2pcos2(??)2??2p2p112p，所以|AB|?|DE|???4(?) 22222cos?sin?cos?sin?sin?11sin2?cos2?22?4(2?2)(cos??sin?)?4(2??)?4?(2?2)?16cos?sin?cos2?sin2? 2.【2017课标II，理16】已知F是抛物线C:y?8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N。若M为FN的中点，则FN? 。 【答案】6 【解析】 试题分析： 如图所示，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线与x轴交于点F'，做MB?l与点B，NA?l与点 2A， 由抛物线的解析式可得准线方程为x??2，则AN?2,FF'?4， 4