发布时间 : 星期三 文章2020年中考数学第一轮复习暨2019年全国中考试题分类汇编 专题21 全等三角形(含解析)(003)更新完毕开始阅读
【点评】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是关键，三角形全等的判定方法有：AAS，SSS，SAS．
2. （2019?贵州省安顺市?12分）（1）如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系．
解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证△AEB≌△FEC得到AB＝FC，从而把AB，AD，DC转化在一个三角形中即可判断． AB，AD，DC之间的等量关系 ；
（2）问题探究：如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F，点E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论．
【解答】解：（1）AD＝AB+DC 理由如下：∵AE是∠BAD的平分线 ∴∠DAE＝∠BAE ∵AB∥CD ∴∠F＝∠BAE ∴∠DAF＝∠F ∴AD＝DF， ∵点E是BC的中点
∴CE＝BE，且∠F＝∠BAE，∠AEB＝∠CEF ∴△CEF≌△BEA（AAS） ∴AB＝CF
∴AD＝CD+CF＝CD+AB （2）AB＝AF+CF
理由如下：如图②，延长AE交DF的延长线于点G
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∵E是BC的中点， ∴CE＝BE， ∵AB∥DC，
∴∠BAE＝∠G．且BE＝CE，∠AEB＝∠GEC ∴△AEB≌△GEC（AAS） ∴AB＝GC
∵AE是∠BAF的平分线 ∴∠BAG＝∠FAG， ∵∠BAG∠G， ∴∠FAG＝∠G， ∴FA＝FG， ∵CG＝CF+FG， ∴AB＝AF+CF
3. （2019?广西北部湾经济区）如图1，在正方形ABCD中，点E是AB边上的一个动点（点E与点A，B不重合），连接CE，过点B作BF⊥CE于点G，交AD于点F． （1）求证：△ABF≌△BCE；
（2）如图2，当点E运动到AB中点时，连接DG，求证：DC=DG；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点C作CM⊥DG于点H，分别交AD，BF于点M，N，求
的值．
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【答案】（1）证明：∵BF⊥CE， ∴∠CGB=90°，
∴∠GCB+∠CBG=90， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠CBE=90°=∠A，BC=AB， ∴∠FBA+∠CBG=90， ∴∠GCB=∠FBA，
∴△ABF≌△BCE（ASA）；
（2）证明：如图2，过点D作DH⊥CE于H， 设AB=CD=BC=2a， ∵点E是AB的中点， ∴EA=EB=AB=a，
∴CE=a，
在Rt△CEB中，根据面积相等，得BG?CE=CB?EB，∴BG=
a，
∴CG==a，
∵∠DCE+∠BCE=90°，∠CBF+∠BCE=90°， ∴∠DCE=∠CBF，
∵CD=BC，∠CQD=∠CGB=90°， ∴△CQD≌△BGC（AAS）， ∴CQ=BG=
a，
∴GQ=CG-CQ=a=CQ，
∵DQ=DQ，∠CQD=∠GQD=90°， ∴△DGQ≌△CDQ（SAS），
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∴CD=GD；
（3）解：如图3，过点D作DH⊥CE于H， S△CDG=?DQ=CH?DG，
∴CH==a，
在Rt△CHD中，CD=2a， ∴DH=
=a，
∵∠MDH+∠HDC=90°，∠HCD+∠HDC=90°，∴∠MDH=∠HCD， ∴△CHD∽△DHM， ∴
，
∴HM=a，
在Rt△CHG中，CG=a，CH=a，
∴GH==a，
∵∠MGH+∠CGH=90°，∠HCG+∠CGH=90°，∴∠QGH=∠HCG， ∴△QGH∽△GCH， ∴， ∴HN=
=a，
∴MN=HM-HN=a，
∴=
【解析】
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