发布时间 : 星期三 文章2016年福建省基地校单元专题：理科立体几何（南安一中）更新完毕开始阅读
福建省基地校单元专题：理科立体几何（南安一中）
一、选择题、填空题： 三视图：
（1）简单组合体的体积或表面积
例1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 ． 【解析】由三视图可知，该几何体是一个组合体，由一个底面半径为1的圆
1 111111柱，挖去一个正四棱锥得到的几何体，
1112V?V圆柱?V四棱锥=??12?2??2?(?2?1)?1?2??．
323
（2）几何体切割问题
例2．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________． 【解析】作出三视图所对应的几何体(如图1)，底面ABCD是边长为2的正方形，SD?平面ABCD，EC?平面ABCD，SD?2,EC?1，连接SC，则该
几
何
体
的
体
积
为
11110VSDABCE?VS?ABCD?VS?BCE??4?2???2?1?2? ．
3323方法二：如图2，三视图所对应的几何体是一个三棱柱ADS?BCR被一平面SBF所截得到的，故该几何
552?210?2?． 体的体积为VADS?BCR?VS?BFR?VADS?BCR??6623SSREFDA图1BCAD图2BC
（3）最值问题
例3．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多
面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为 （A）22 （B）23 （C）10 （D）13
【解析】如图，由三视图可知该几何体是一个底面为直角梯形的四棱锥． 其中SA?底面ABCD，AD?AB,BC?AB，AD?1，
DCSA?AB?BC?2，经计算知最长棱为SC?23．故选B．
SAB球：
（1）球的定义
例4．将长、宽分别为4和3的长方形ABCD沿对角线BD折起，得到四面体A?BCD，则四面体A?BCD的外接球的体积为________．
【解析】设AC与BD相交于O，折起来后仍然有OA?OB?OC?OD，?O为A?BCD外接球的球
4125?32?425心，∴外接球的半径R?. ?，从而体积V??R3?3622(2) 球的截面圆性质
例5．已知直三棱柱ABC?A1B1C1的各顶点都在球O的球面上，且AB?AC?1,BC?3，若球O的体
积为
205?，则这个直三棱柱的体积等于 ． 3【解析】设三角形ABC与三角形A1B1C1的外心分别为O1与O2，可知球心O为O1O2的中点，连结OA，
2?AB2?AC2?BC21OB，OC，cosA???，在三角形ABC中，所以?A?，OC1，OA1，OB1，
32AB?AC2因此三角形ABC的外接圆的半径O1A?BC?1，
2sinA又由
43205得O?R??，AR?33在R?5，tO?OA1O1O?OA?O1A?2，中，所以O1O2?4，
22S?ABC?3，直三棱柱的体积V?S?ABC?OO12?3． 432?，则这个三棱柱的体积3（3）内切球
例6．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，若该球的体积为是 ．
【解析】由条件可求得球的半径R?2，设正三棱柱的底面边长为a． 方法一：根据图形特征可知R?2?133?a?a，?a?43，从而三棱柱的体积326V=32a?2R?48. 34方法二：把内切球的球心与各顶点连接，可分割得到3个四棱锥和2个三棱锥，且它们的高都是球的半径
1R?2，则这5个棱锥的体积之和就是该三棱柱的体积，从而得到?S全面积?R?V三棱柱，则有
31?3a2?3a232??12a?2??R??2RV=a?2R?483. ，解得，从而三棱柱的体积a?43???3?4?44
解答题：
（一）先证明后建系(考点：线面平行；二面角)
例1：如图，三棱柱ABC?A1B1C1中，D,M分别为CC1和A1B的中点，A1D?CC1，侧面ABB1A1为菱
o?60形且?BAA，AA1?A1D?2，BC?1． 1CAA1MBDC1（Ⅰ）证明：直线MD∥平面ABC； （Ⅱ）求二面角B?AC?A1的余弦值．
D为中点，AA1?A1D?2， 【解析】 ∵A1D?CC1，且
∴ AC?AC111?5?AC，
222222又 BC?1,AB?BA， 1?2，所以BA?BC?AC,BA1?BC?AC1B1∴ CB?BA,CB?BA又 BA?BA1?B，∴CB?平面ABB1A 1，1， 取AA1中点F，则BF?AA1，即BC,BF,BB1两两互相垂直， 以B为原点，BB1,BF,BC分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系如图， …… 3分
∴B1(2,0,0),C(0,0,1),A(?1,3,0),A1(1,3,0),C1(2,0,1),D(1,0,1),M(,13,0) …… 4分 22????????（Ⅰ）设平面ABC的法向量为m?(x,y,z) ，则m?BA??x?3y?0，m?BC?z?0，
取m?(3,1,0)，
?????1?????333∵ MD?(,?,1)，m?MD???0?0，
2222∴ m?MD，又MD?平面ABC， ∴直线MD∥平面ABC． …… 7分
????????（Ⅱ）设平面ACA1的法向量为n?(x1,y1,z1)，AC?(1,?3,1),AA1?(2,0,0)， ???????? n?AC?x1?3y1?z1?0，n?AA1?2x1?0， 取n?(0,1,3)， …… 9分
又由（Ⅰ）知平面ABC的法向量为m?(3,1,0)，设二面角B?AC?A1为?，…… 10分 ∵ 二面角B?AC?A1为锐角，∴cos??|∴ 二面角B?AC?A1的余弦值为
m?n11|??，
|m|?|n|2?241． ………… 12分 4（二）利用向量求坐标（考点：面面垂直，线面角）
例2．如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，AB?BC，AB1?平面ABC，且AB?BC?AB1?2. （Ⅰ）证明：平面C1CBB1?平面A1ABB1；
（Ⅱ）若点P为AC求直线BP与平面A1ACC1所成角的正弦值. 11的中点，【解析】（Ⅰ）证明：?B1A?平面ABC，?B1A?BC…………2分 又?AB?BC，AB?A1B?B，?BC?平面A1ABB1，
又?BC?平面C1CBB1，?平面C1CBB1?平面A1ABB1.…………4分
CABC1PA1B1BM（Ⅱ）过B点作BM?平面ABC，则BM?BA，?BC?????????????，分别以BC，BA，BM为x,y,z轴的非负向
量建立空间直角坐标系B?xyz，………………………6分 则B(0,0,0)，C(2,0,0),A(0,2,0)，B1?0,2,2? ，
zC1PA1B1M?????????????又?AA1(0,4,2),C1(2,2,2),P(1,3,2)， 1?BB1?CC1?(0,2,2)，?A?????????AC?(2,?2,0),BP?(1,3,2).…………………………8分
设n?(x,y,z)为平面A1ACC1的一个法向量，
xCAB??????n?AC?0?2x?2y?0则?????即?，取x?1，可得n?(1,1,?1).……10分 ??n?AA1?0?2y?2z?0y????1?3?242?设直线BP与平面A所成角为，则， ACCsin??cos?n,BP???112114?3即直线BP与平面A1ACC1所成角的正弦值为
42.………12分 21（三）作图（考点：线线角；作线面平行）
例3．如图，三棱柱ABC?A1B1C1中，底面ABC?侧面ABB1A1，底面?ABC是边长为2的等边三角形，侧面ABB1A1为菱形且
CC1EBFA?BAA1?60o， E,F分别为BB1和C1B1的中点．
（Ⅰ）求异面直线AF和C1B1所成角的余弦值；
（Ⅱ）在平面A1B1C1内过B1点作一条直线与平面AEF平行，且
B1A1P，要求保留作图痕迹，但不要求证明．与AC11交于点
【解析】（Ⅰ）取AB的中点O，因为?ABC为等边三角形，则CO?AB，底面ABC?侧面ABB1A1且交线为AB，所以CO?侧面ABB1A1.
o又侧面ABB1A为菱形且，所以?AA1B为等边三角形，所以AO?AB.……3分 ?BAA?60111以O为原点，分别以OA,OA1,OC所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系， 则A?1,0,0?，B??1,0,0?，C0,0,3，F?????33??2,2,0??.………4分 ????????????53?????（Ⅰ）AF???,?22,0??，C1B1?CB??1,0,?3，
????5?????????2?57，即异面直线AF和CB所成角的余弦值为57．………8分 则cos?AF,C1B1??1128287?2（Ⅱ）方法一：如图1．
………12分
AOBFPCzC1GEB1zC方法二：如图2．
x图1A1yC1EB
OFPNB1其中，M,N分别为AA1,A1E的中点．
………12分
方法三：如图3．
其中，M,N分别为AE,A1E的中点．
………12分
Ax图2MA1yzCC1EBMOAx图3FPNB1A1y