发布时间 : 星期二 文章人教版高中数学全套教案导学案第3章 空间向量与立体几何 §3.1 空间向量及其运算更新完毕开始阅读
则a·b = 0， b·c = 0， c·a = 0， 且|a| = |b| = |c| ，
11(AB+AD)=e + (a + b), 22BD=AD - AB = b – a , OG = OC+ CG 1111CC1 = (a + b ) - c =(AB+AD) +
222211∴A1O·BD = { c + a + b}·(b –a )
221= c·( b – a ) + ( a + b) ·( b – a )
21= c·b - c ·a + (|b|2 - | a |2
211111A1O·OG = { c + a +b} – { a + b - c}
22222111=( |a|2 +|b|2) - |c|2=0 422A1O?BD??∴A1O?OG?A1O平面BDG BD?OG=O??而 A1O=A1A+AO=A1A+
知识点七 空间向量的坐标运算
已知O为坐标原点，A，B，C三点的坐标分别为(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－
2,2,3)，求满足下列条件的P点的坐
1(AB ?AC); 21(2)AP = (AB ?AC);
2解AB = （2，6，?3），AC=（?4，3，1）。
112（1）OP=(AB ? AC) =(6 , 3 , ?4 )={3,, ?2},
2233则P点的坐标为{3，，?2）.
2(2)设P（x,y,z）则，AP =（ x – 2 , y + 1 , z – 2 ）.
13(AB - AC)= (3,,-2), 221所以x=5, y= , z=0,
21故P点坐标为（5，，0）.
2(1)OP =
知识点八 坐标运算的应用
在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为D1D、BD的中点，
1
G在棱CD上，且CG＝CD，H为C1G的中点，应用空间向量方法求解下列问题．
4
(1)求证：EF⊥B1C；
(2)求EF与C1G所成的角的余弦值； (3)求FH的长. 解
如图所示，建立空间直角坐标系D—xyz，D为坐标原点，则有
E（0，0，
111）、F（，，0）、C（0，1，0）、C1（0，1，1）、B1（1，1，1）、G（0，2223，0）.. 4（1）EF=（
111111，，0）-（0，0，）={，， ?）， 222222B1C=（0，1，0）-（1，1，1）=（-1，0，-1）.
111∴ EF ·B1C= ×(-1)+ ×0+(-)×(-1)=0,
222EF⊥B1C,即EF⊥B1C.
(2)∵ C1G =（0, ,0）-(0,1,1)=（0,-,-1）.
1711113又EF·C1G=×0+×（-）+（-）×(-1)=, 4224283414∴|C1G|= |EF|= =
51 173,2∴cos〈EEF,C1G〉=
EFC1G
|EF|?|C1G|即异面直线EF与C1G所成角的余弦值为51.
（3）∵F（，，0）、H（0，，）， ∴
FH =（-
12127812131，，），282
∴|EF|=(?)2?()2?()2=12381214 8 在长方体OABC－O1A1B1C1中，|OA|＝2，|AB|＝3，|AA1|＝2，E是BC的中点，建
立空间直角坐标系，用向量方法解下列问题： (1)求直线AO1与B1E所成角的余弦值；
(2)作O1D⊥AC于D，求点O1到点D的距离． 解
建立如图所示的空间直角坐标系． （1）由题意得A（2，0，0），O1（0，0，2）， B1（2，3，2），E（1，3，0）. ∴
AO1=（-2，0，2），
B1E =（?1，0， ?2），
∴
∴AO1与B1E所成角的余弦值为
（2）由题意得O1D⊥AC，AD∥AC， ∵C（0，3，0），设D（x,y,0）, ∴O1D = (x,y, ?2),
cos〈AO1,B1E〉=?210 ??1021010 10AD = (x ?2,y,0),AC = (?2,3,0),
18?x?,??2x?3y?0,???13∴?x?2y 解得?
12?,?y?,?3??2?13?
∴D(
18,13182122228612, ,0 ) ∴|O1D| = |O1D| =()?()?4?13131313
考题赏析
1．(福建高考)
如图所示，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD=2，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点．
(1)求证：PO⊥平面ABCD；
(2)求异面直线PB与CD所成角的余弦值； (3)求点A到平面PCD的距离．
(1)证明 在△PAD中，PA=PD，O为AD中点，所以PO⊥AD.又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO?平面PAD，所以PO⊥平面ABCD. （2）解以O为坐标原点，
OC、OD、OP的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，
建立空间直角坐标系O—xyz. 则A（0， ?1，0），B（1， ?1，0），C（1，0，0），D（0，1，0），P（0，0，1）， 所以
CD=（?1，1，0），
PB =（1， ?1， ?1），
cos〈PB
，CD〉=
6?1?1PB??, CD?33?2|PB|?|CD|