发布时间 : 星期一 文章人教版高中数学全套教案导学案第3章 空间向量与立体几何 §3.1 空间向量及其运算更新完毕开始阅读
第三章 间向量与立体几何
§3.1 空间向量及其运算
知识点一 空间向量概念的应用
给出下列命题：
①将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； ②若空间向量a、b满足|a|＝|b|，则a＝b；
③在正方体ABCD-A1B1C1D1中，必有AC=A1C1; ④若空间向量m、n、p满足m＝n，n＝p，则m＝p；
⑤空间中任意两个单位向量必相等． 其中假命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4 解析 ①假命题．将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点时，它们的终点将构成一个球面，而不是一个圆；
②假命题．根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量a与b的方向不一定相同； →→→→与A1C1与A1C1的方向相同，模也相等，应有AC＝A1C1；
④真命题．向量的相等满足递推规律；
⑤假命题．空间中任意两个单位向量模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错．故选C.
答案 C
知识点二 空间向量的运算
化简：（AB ?CD）? (AC ?BD)
解 方法一 （AB ?CD）?(AC?BD)=AB?CD?AC+BD =AB+DC+CA+BD=（AB+BD）+（DC+CA）=AD+DA=0。 方法二 （AB?CD）?(AC?BD)=AB?CD?AC+BD
=（AB?AC）+（DC?DB）=CB+BC=0。 在四面体ABCD中，M为BC的中点，Q为△BCD的重心，设AB=b AC=c AD=d，
试用
b，c，d表示向量BD，BC、CD，BM，DM和AQ。 解 如图所示
BD=BA+AD=d?b, BC=BA+AC=c?b, CD=CA+AD=d?c,
1DM=(DB+DC)
211=(b ?d+c?d)= (b+c?2d), 222AQ=AD+DQ=d+DM,
311=d+( b+c?2d)=(b+c+d).
33
知识点三 证明共线问题
已知四边形ABCD是空间四边形，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分
别是边CB、CD上的点，且
CF=
22CB,CG=CD.求证：四边形EFGH是梯形. 33证明 ∵E、H分别是AB、AD的中点
11AB,AH=AD, 221111EH=AH-AE=AD ?AB=(AD?AB)=BD
22221122=（CD-CB）={CG-CF} 223333=（CGCF）=FG,∴四边形EFGH是梯形. 44所以 AE=
知识点四 证明共面问题
正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为BB1和A1D1的中点. 证明：向量A1B，B1C，EF是共面向量.
证明 方法一 如图所示.=
EF=EB+BA1 +A1F
11B1B ?A1B+A1D1- 221=（B1C ?A1B）。 2由向量共面的充要条件知，A1B，B1C，EF是共面向量。
方法二 连结A1D、BD，取A1D中点G，连结FG、BG(如图所示)， 则有FG
1DD1，BE 21DD1， 2∴FGBE.
∴四边形BEFG为平行四边形． ∴EF∥BG.∴EF∥平面A1BD.
同理，B1C∥A1D，∴B1C∥平面A1BD. ∴A1B，B1C，EF都与平面A1BD平行 ∴A1B，B1C，EF共面. 知识点五 数量积的运算
如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F分
别是AB，AD的中点，计算
（1）EF·BA;(2) EF·BD;(3) EF·DC. 解 (1）EF·BA==
11BD·|BD|BA=|BD|·|BA|·cos
22211所以 EF·BD=,(3) EF·DC=BD·DC
2211|BD|·|DC|·cos
41所以 EF·DC=-，
4=
知识点六 数量积的应用
已知点O是正△ABC平面外的一点，若OA＝OB＝OC＝AB＝1，E、F分别
是AB、OC的中点，试求OE与BF所成角的余弦值．
如图所示，设OA=a, OB=b, OC=c, 则a·b=b·c=c·a=
1， 2|a|=|b|=|c|=1，OE=1(a+b),BF= 1c-b,
221(a+b)·{1c-b} 22=1{1a ·c +1 b·c - a·b -|b|2 } 222= 1×{1 + 1 - 1 - 1 } = -1, 24422OE·BF=
2OE= BF=333|OE||BF|?222∴异面直线OE与BF所成角的余弦值为.
3?cos〈OE,BF〉=
12
如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，将它沿对角
线AC折起，使AB与CD成60°角，求B、D间的距离．
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求
证：A1O⊥平面GBD.
证明 如图所示，设A1B1 = a ，A1D1 = b，A1A= c ，