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北京建筑工程学院
理学院 实验报告
课程名称 数学实验 实验名称 迭代（一）—方程求解 实验地点 基c425 日期 2015-7-1 姓名 周盈海 班级 信131 学号 201307010137 指导教师 高雁飞 成 绩
【实验目的】 （1）.利用迭代法求解方程 （2）.线性方程组的迭代求解
【实验要求】
1.（1）.在同一直角坐标系中画出y?2sinx及y?x的图像。从图上观察，方程x?2sinx的解的个数。 （2）.利用迭代法，对x?2sinx作迭代，取xn极限，得到方程的解。 2. 利用迭代法，即xn?1?0.20?nx?M是n阶矩阵，f是n维列向量，对M??作迭代，取?Mx?f，?00.5???n极限，得到线性方程组的解。
【实验内容】（主要包含问题分析、计算过程、实验结果等，按课程要求完成）
问题的分析
1.（1）.在同一直角坐标系中画出y?2sinx及y?x的图像。由理论可知，方程x?2sinx有3个解。 （2）. 取初值为x0?0.5，对x?2sinx作迭代，迭代序列应当收敛于0。但对初值取不同的点，对
x?2sinx作迭代，迭代序列会出现不收敛的现象。
2. 给定实数域上光滑的实值函数f(x)以及初值x0定义数列
xn?1?f(xn),n?0,1,?, xn,n?0,1,? 称为f(x)的一个迭代序列.
给定迭代函数f(x)以及一个初值x0利用上式迭代得到数列 xn,n?0,1,? 如果数列xn收敛于某个x,则有 x*?f(x*).即x是方程x=f(x)的解.由此启发我们用如下的方法求方程g(x)=0的近似解. 将方程g(x)=0改写为等价的方程 x=f(x),然后选取一初值利用上式做迭代.迭代数列xn收敛的极限就是方程g(x)=0的解.
**?a11x1???a1nxn?b1?给定一个n元线形方程组???或写成矩阵的形式 Ax=b, 其中A=(aij)是n阶方
?ax???ax?bnnxn?n11阵,x=(x1,?,xn)均为n维列向量.任意给定初值向量x，由迭代x第 页 共 页
T0n?1?Mxn?f确定向量序列xn收敛
到向量x，则有x*?Mx*?f即x是方程组的解。
**计算过程
1、 （1）
f[x_]:=2Sin[x] y[x_]:=x
Plot[{f[t],y[t]},{t,-Pi,Pi}] （2）
Iterate[f_, x0_, n_Integer] := Module[{t = {}, i, temp = x0}, AppendTo[t, temp];
For[i = 1, i <= n, i++, temp = f[temp]; AppendTo[t, temp]];t] f[x_] := 2Sin[x] - x; Iterate[f, 0.5, 10]
Iterate[f_, x0_, n_Integer] := Module[{t = {}, i, temp = x0}, AppendTo[t, temp];
For[i = 1, i <= n, i++, temp = f[temp]; AppendTo[t, temp]];t] f[x_] := 2Sin[x] - x; Iterate[f, 10., 10] 2、
LSIterate[m_,f_List,f0_List,n_Integer]:= Module[
{ i,var=f0,t=Table[{},{i,n}]},
For[i=1,i<=n,i++,t[[i]]=var;var=m.var+f];t] m={{0.1,0},{0,0.2}};f={1,1};f0={0,0}; LSIterate[m,f,f0,20]
LSIterate[m_,f_List,f0_List,n_Integer]:= Module[
{ i,var=f0,t=Table[{},{i,n}]},
For[i=1,i<=n,i++,t[[i]]=var;var=m.var+f];t] m={{0.1,0},{0,0.2}};f={2,2};f0={0,0}; LSIterate[m,f,f0,20]
LSIterate[m_,f_List,f0_List,n_Integer]:= Module[
{ i,var=f0,t=Table[{},{i,n}]},
For[i=1,i<=n,i++,t[[i]]=var;var=m.var+f];t] m={{0.1,0},{0,0.2}};f={1,1};f0={2,2};
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LSIterate[m,f,f0,20]
LSIterate[m_,f_List,f0_List,n_Integer]:= Module[
{ i,var=f0,t=Table[{},{i,n}]},
For[i=1,i<=n,i++,t[[i]]=var;var=m.var+f];t] m={{0.2,0},{0,0.4}};f={1,1};f0={0,0}; LSIterate[m,f,f0,20]
LSIterate[m_,f_List,f0_List,n_Integer]:= Module[
{ i,var=f0,t=Table[{},{i,n}]},
For[i=1,i<=n,i++,t[[i]]=var;var=m.var+f];t] m={{1,0},{0,2}};f={1,1};f0={0,0}; LSIterate[m,f,f0,20]
问题求解结果的分析与结论
321-3-2-1-1-2-312 1、（1）由图可知，y?2sinx及y?x的图像有3个交点，说明方程x?2sinx有3个解。
（2）初值为0.5
{0.5, 0.458851, 0.426986, 0.401272, 0.379907, 0.361762, 0.346083, 0.332348, 0.320179, 0.309294, 0.299479}
初值为10
{10., -11.088, 13.0795, -12.0977, 13.0011, -12.1588, 12.9516, -12.2001, 12.9164, -12.2305, 12.8896}
由此可知，当初值为x0?0.5时，迭代序列逐渐收敛，收敛于方程x=0的解。当初值为x0?10时，迭代序列不收敛。 （3）
对初值取值，在一定区间内收敛，在其他区间内不收敛。迭代序列是否收敛，与初值是否在收敛区间内有关，初值越接近于哪一个解，就收敛于哪一个解。
2.、{{0,0},{1.,1.},{1.2,1.5},{1.24,1.75},{1.248,1.875}…{1.25,1.99999},{1.25,2.},{1.25,2.},{1.25,2.},{1.25,2.}}
{{0,0},{1,1},{3,2},{7,3},{15,4},{31,5},{63,6}…{4194303,22}}
{{0,0},{2.,2.},{2.4,3.},{2.48,3.5},{2.496,3.75}…{2.5,3.99999},{2.5,4.},{2.5,4.},{2.5,4.}} {{2,2},{1.4,2.}…{1.25024,2.},{1.25005,2.},{1.25001,2.},{1.25,2.},{1.25,2.}} {{0,0},{1.,1.},{1.2,1.1}…{1.24998,1.11111},{1.25,1.11111},{1.25,1.11111}}
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当mii?1时，向量列x收敛。影响收敛性及收敛速度的主要量是初值和系数矩阵。mii越小，收敛速度越快。常数向量f对收敛性无影响。初值越接近于根，收敛越快。
n【实验小结】（主要包含实验心得等）
通过对实验九的学习，我初步了解了利用迭代法求解方程的方法和过程，在计算机辅助下，用迭代法求解方程非常迅速，而且可以求出方程解的精确值，体现出了数值计算相对于理论分析法的优势。从入手时就有些困难，在理解与运用上都有一些问题，但通过于老师和同学额讨论研究之后，我还是顺利完成了本次实验。
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