发布时间 : 星期日 文章浅谈函数解析性的判断方法更新完毕开始阅读
同样对v(x, y)用完全相同的过程且设无穷小量为E3，E4得
?5u5u5v5u5u?5v????cosH?sinH?icosH?sinH(x?x)??icosH?sinH]0?5s???5n5n5n5s?5s???5v5ucosH?sinH]]i(y?y0)?(E1?E2)(x?x0)?(E2?E4)(y?y0). 5n5s5u5v5u5v?,??可知上式两个括弧是完全相等的，因此有 由条件
5s5n5n5s?[5u5v5v?5u? f(z)?f(z0)??coHs?sinH?i(coHs?sinH)?(z?z0)
5n5s5n?5s? 利用
x?x0z?z0?(E1?E3)(x?x0)?(E2?E4)(y?y0)
?y?y0?1,?z?z0??在上式两边同时除以z?z0后再取极限就得到 ?z?z0limf(z)?f(z0)5u5u5v?5v??cosH?sinH?i?cosH?sinH?.
z?z05s5n5n?5s?这说明了函数f(z)在z?z0处可导，所以定理的结 论成立。3、 根据初等函数的解析性判定
若复变函数是初等函数，则我们可以根据初等函数的解析性来进行判定 1）指数函数ez在整个复平面上解析； 指数函数：
定义对任意的复数z?x?yi，规定函数 w?ex(coys?isiny) 为z的指数函数，记做
w?ez?e(coys?isiny)或expz)(?ex(coys?isiny)
2）对数函数lnz的主值函数和各个分支在除去原点和负实轴外的每一点解析； 对数函数定义为指数函数的反函数。我们把满足方程 ew?z(z?0)
的函数w?f(z)称为对数函数，记作w?Lnz 设w?u?iv,z?rei?,那么 eu?iv?rei?
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?u?lnr?lnz,v???2k??Argz,?w?lnz?lnz?iArgz.
由于Arg(z)是多值的，于是对于每个非零z，复对数Lnz也就是多值的。
个面上解析；a为负数时，幂函数在除 3）幂函数za，a正整数时，幂函数在整虚数时，在除去原点去原点以外的整个复平面上解析；a为既约分数、无理数、cotz、secz、cscz在各自的定义域内解析。 和负实轴的复平面上解析；tanz、定义：设z为不为零的复变数，?为任意一个复数，我们定义 z??e?lnz
当z为正实数、?为整数时，上式与微积分中的乘幂的定义一致； 当z为复变数、?为复数时，
z??e?Lnz?e?ee??lnz?iAr?gi2zk??
?e??lnz?I2K??
?lnzi?2k?
（ k为整数） 4）sinz，cosz在整个复平面上解析； 4、 利用积分形式的等价定理
复变函数 f ( z)在区域 D 内解析的充要条件为: f (z)在 D 内连续并且对任一围线 c, 只要 c 及其内部全含于D内，就有?(z)dz?0。 例4：f(z)?zez在z平面上的解析性。
解：由f(z)?zez?ex(xcosy?ysiny)+iex(ycosy?xsiny)在z平面上连续对于z平面上任一围线c，有?(udx?vdy)?0，?(vdx?udy)?0。
?vdy)?i?(vdx?udy)?0。 则 ?(z)dz??(udx所以f（z）在z平面上解析。 5、 关于幂级数形式的等价定理
函数f (z) 在 D 内解析的充要条件是: f ( z)在D内任一点a 的邻域内可以展开成(z- a)的幂级数.
由于此种方法的要求是在任一点都可以展开成幂级数， 可以用来求在一点的可
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微性。
6、 根据导函数的解析性
(1)设 函数f (z)在区域 D 内是解析的, 则在 D 内是具有各阶导函数的, 且在 D 内解析.
这种判别方法一般可以用在已经知道原函数是解析函数的情况下. 下面我们再给出一种判别的方法, 其本质上还是运用解析函数的各阶导数的存在并且解析而得到的。
(2) 设f (z)在单连通区域D 内连续, 并且?(N)dN沿区域D 内任一围线的积分为零(从而与路径无关)，则函数F(z)=?NeNdN（为内任意一点）在D解析。 例5：试判断f(z)?e(z?1)在z平面上的解析性。
解：由f(z)=?NeNdN又g(z)?zez在z平面上连续，且由例 4知
对任一闭曲线 c 有?g(z)dz?0
所以f(z)?ez(z?1)在z平面上解析。
此方法比较适合于原函数较好判别的情况。 7、根据级数来判别函数的解析性。 利用级数判别解析区域的方法： 设双边幂级数6Cn(z?a)n的收敛圆环为
n??1?1z0zzzz0 H ：r?z?a?R(0[r?? ]，0[R??])。
则6Cn(z?a)n在H内绝对收敛且内闭一致收敛于f（z），并且f（z）在H内解
n??1?1析。
三、总结：
以上是我对函数解析性的判断的几种证明方法的归纳，在我们的学习中学会对已学过的知识点进行归纳总结是一种重要的学习方法。这种方法不仅让我们对学过的知识加以巩固，获得新知识；还能是我们的学习思维起到举一反三，触类旁通的作用。因此在大力倡导新课改的今天，怎样教会学生自我学习已然成为了教育的重心。作为教育者更要不断总结自身教学实践，提高知识水平和教学素养，在数学教学中重视教给学生一些比如猜想、数形结合、归纳总结和类比等重要的学习方法。
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参考文献：
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