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固体物理讲义第一章
前言：
固体物理学是用自然科学的基本原理从微观上解释固体的宏观性质并阐明其规律的科学 课程的主要内容
晶体的物理性质与内部微观结构以及其组成粒子（原子、离子、电子）运动规律之间的关系
? 晶体结构（基于X射线衍射） ? 晶体结合与晶体缺陷
? 晶格振动（基于统计物理和量子力学研究固体热学性质） ? 固体能带论（基于量子力学和统计物理研究固体的导电性） 第一章 晶体结构
内容：晶体中原子排列的形式及其数学描述 主要包括:
? 晶体的周期结构
? 十四种布拉菲格子和七大晶系 ? 典型的晶体结构 ? 晶面和米勒指数 ? 晶体的对称性
固体的性质取决于组成固体的原子以及它们的空间排列。例如同为碳元素组成的石墨（导体）、碳60和金刚石就有明显不同的特性。 1.1 晶体的周期结构 晶体结构的特征： 周期性
组成晶体的粒子（原子、分子、离子或它们的集团）在空间的排列具有周期性（长程有序、平移对称性*）
对称性
晶体的宏观形貌以及晶体内部微观结构都具有自身特有的对称性。
晶体可以看成是一个原子或一组原子以某种方式在空间周期性重复平移的结果。 晶体内部原子排列具有周期性是晶体的主要特征，另一个特征是由周期性所决定的对称性（表现在晶体具有规则的外形）。周期排列所带来的物理后果的讨论是本课程的中心。
（对称性最初是用来描述某些图形或花样的几何性质，后来经过推广、加深，用它表示各种物理性质/物理相互作用/物理定律在一定变换下的不变性。在这里，我们主要关注的是对称性最初的、狭义的意义，即几何图形和结构（不管有限还是无限）的对称性。
虽然眼睛看不到晶体中的原子，但是原子的规则排列往往在晶体的一些几何特征上明显的反映出来。实际上，人们最初正是从大量采用矿物晶体的实践中，观察到天然晶体外型的几何规则性，从理论上推断晶体是由原子作规则的晶格排列所构成。后来这种理论被X衍射所证实。）
布拉菲空间点阵和基元
? 为了描述粒子排列的周期性，把基元抽象为几何点，这些点的集合称为布拉菲点阵。
布拉菲点阵的特点：所有格点是等价的，即整个布拉菲点阵可以看成一个格点沿三个不同的方向，各按一定的周期平移的结果
? 格点：空间点阵中周期排列的几何点 ? 基元：一个格点所代表的物理实体 ? 空间点阵：格点在空间中的周期排列
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在理想的情况下，晶体是由全同的原子团在空间无穷重复排列而构成。这样的原子团称为基元。在数学上这些基元可以抽象为几何点。这些点的集合称为点阵（晶格）。基元可以是一个粒子，也可以是由若干个粒子所组成的粒子集团。
基元内所含的粒子数＝晶体中原子的种类数*。
二维空间点阵的实例
重复排列的具体单元，称为基元。 对于一个基元，需要知道其中原子的种类、数量、相对取向及位置。基元依不同的晶体而异。 基元的几何代表点称为格点，格点是基元的数学抽象。 基矢和晶格矢量
在布拉菲点阵中，以某一格点为坐标原点，选取与晶格维数同样多的一组矢量，构成坐标系，使得晶格中任意一个格点的径向量（称为晶格矢量）可以表述为一组矢量的整数线性组合,这一组矢量称为基矢。
????晶格矢量： Rl?l1a1?l2a2?l3a3
晶格的平移对称性：平移任一个晶格矢量后晶体原子排列同原来的排列情况一样 L取整数，L的全体集合表示空间点阵，a是三个不共面的矢量，称为点阵的基矢。
基矢量举例：
基矢的大小：所选方向最短的周期。
基矢量的选取不是唯一的！
空间格子和原胞
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2
通过点阵中的结点，作许多平行的直线族将结点连接起来，形成格子状图形，这样点阵就成为网格，称为空间格子。之所以要引入空间格子的概念，是为了把空间点阵划分成许许多多的平行六面体，整个空间点阵就是这些小的平行六面体堆砌而成的。这样的平行六面体称为原胞。
原胞（ Primitive Cell）
? 空间点阵也称为空间格子（晶格） ? 在空间格子中，以某一格点为顶点，以基矢为边长构成的平行六面体称为原胞。
? 原胞描述了晶体结构的周期性，是晶格中体积最小的重复单元：格点只能位于平行六面体的的顶点上，因而每个原胞只包含一个格点。
? 原胞的几何特征由原胞的边长以及它们之间的夹角α,β和γ规定
在抽象原胞时，主要关心的是a1,a2,a3数值间的相对大小，而不是绝对数值。因而有些晶体之间（如硅和锗）尽管原子间距不同（即基矢的大小不同），但原子规则排列形式相同（即三个基矢大小的相对关系以及它们之间的夹角α、β、γ 相同），我们就说它们具有相同的空间点阵。
原胞选取的不唯一性
原胞选取不唯一，但对于给定的空间点阵，无论怎样选取，原胞的体积相同 晶体结构＝基元＋布拉菲点阵
基元反映构成晶体的原子的种类、数目和相对取向及位置，基元依不同的晶体而异 布拉菲点阵反映了原子排列的周期性，是基元几何表示点的集合，每个格点是等价的 描述布拉菲点阵的三种方法 ：基矢、晶格矢量、原胞
晶体结构包含两个方面的内容：一是重复排列的具体单元，称为基元。二是基元重复排列的形式，这是问题的几何和数学方面，抽象为空间点阵，或称为晶格（crystal lattice），由布拉菲格子的形式来概括。基元以相对的形式，重复排列在点阵的格点上。
布拉菲点阵是一个无限延伸的理想点阵，它忽略了实际晶体中表面、结构缺陷的存在，以及T不等于0时原子瞬间位置相对于平衡位置的偏离。但它抓住了晶体结构中最重要之点：晶体中原子排列的周期性。 晶胞（unit cell）
为了反映晶格的宏观对称性，同时又计及周期性，选取重复单元时，不要求其体积最小：即格点除了位于平行六面体顶点，还可以位于平行六面体的体心和面心上，这样选取的重复单元称晶胞（也叫单胞、惯用单胞）
晶胞是同时计及周期性和对称性的尽可能小的重复单元，也是一个平行六面体。晶胞基矢通常用
表示，其大小是该方向最短的平移周期。晶胞基矢的大小称为晶格常数。 各种类型的布拉菲格子如何选取晶胞有统一的规定
原胞是考虑点阵周期性最小的重复单元。它很好的描述了晶格的周期性，但有时不能反映出晶体的对称性。
定义晶胞的另一个原因是：原胞的基矢选取是任意的，而晶胞基矢的选取相对晶轴有一定的取向。 通常说某种晶体的空间点阵指的是晶胞。晶胞在有些情况下就是原胞，有时则不同。
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点对称性：晶体外观所表现出的宏观对称性。根据不同的对称性，有的布拉菲格子的晶胞和原胞相同，有的形状则有明显的差异，但是晶胞的体积必为原胞体积的整数倍，这一整数正是晶胞中所包含的格点数。 晶轴（了解）
1.2 十四种布喇菲晶胞和七大晶系
1850年，布拉菲证明，根据晶体宏观对称性对布拉菲格子的要求，对于三维晶格，布拉菲格子总共可分为7类，称为7大晶系。考虑到平移对称性的要求，每一种晶系有一种或几种布喇菲晶胞，共有14种布喇菲晶胞。
对每种晶胞，人们已经有习惯的原胞选取方式，因此也可以说有14种布拉菲原胞。
晶胞的特征由晶胞的三个基矢量来规定，即三个基矢量的大小以及它们之间的夹角规定了晶胞的形状和大小，如果在选取晶胞时要求晶胞具有一定的宏观对称性，那么三个基矢量必须满足怎样的要求？答案是只有7种晶胞基矢（7种晶系）
按点群分类，有7大晶系；按空间群分类，有14种布拉菲格子。 七大晶系
三斜晶系： 单斜晶系： 正交晶系： 四方晶系： 三角晶系： 六角晶系： 立方晶系：
a?b?c?????a?b?ca?b?ca?b?ca?b?ca?b?ca?b?c????900????????900??????900??????1200?900????900??1200??????900晶系的划分是以晶胞的基矢间的特定关系进行归纳分类的。
布拉菲晶胞的格点只能位于晶胞的顶点、面心或体心。符号为：P（简单）：每个晶胞一个格点；I（体心）：每个晶胞二个格点；F（面心）：每个晶胞四个格点；A（侧心）：每个晶胞二个格点；B（侧心）：每个晶胞二个格点；C（侧心）：每个晶胞二个格点。 立方晶系－简立方 Simple Cublic，简写为SC
? 格点在立方体的顶角上 ? 晶胞与原胞相同
基矢量：
????a?a1?ai????j?b?a2?a????c??a3?ak
原胞的体积：? ?立方晶系－面心立方、体心立方
a3
1ab?c?j?k221aa2?c?a?k?i221aa3?a?b?i?j22a1???????????????a
34
4
1a?a?b?c??i?j?k221aa2?a?b?c?i?j?k221aa3?a?b?c?i?j?k22 a1?????3a??????????
六角格子
原胞的基矢：
2?3a?a?a1?i?j22????a2?aja3?ck
简单格子和复式格子
? 基元包含一个原子的晶体结构叫简单格子
? 基元包含两个或两个以上原子的晶体结构称为复式格子
? 复式格子在概念上已经涉及到具体的晶体结构，而非抽象的点阵
晶格、点阵、空间格子表述的是同一概念
简单格子中所有原子在化学、物理和几何环境上都是完全等同的。
简单格子一定由同种原子组成；反之，由同种原子组成的晶格却不一定是简单格子。 对于基元包含两个或更多的原子的晶体，在抽象空间点阵时,有两种方法： 1. 按基元抽象点阵
? 晶体结构＝基元＋空间点阵
2. 分别抽象出每一种原子的点阵。不同类型的原子形成的点阵是相同的，都等同于基元的点阵（但
相互间有相对位移）
? 晶体结构＝各等价原子形成的点阵套构而成
黄昆：复式晶格可以看成这样的，每一种等价原子形成一个简单晶格，不同等价原子形成的简单晶格是相同的，复式晶格就是由各等价原子形成的简单晶格穿套而成的。我们说的布拉菲点阵的格点是基元的代表点。复式晶格不是布拉菲点阵，是晶体结构。
晶体由几种原子构成时（元素相同，由于周围环境不同，可以认为是不同种类的原子，ex：金刚石），每一种原子形成一个空间点阵，（但不同原子形成晶格是相同的，都等同于基元的点阵），晶体由这几个相同的点阵套构而成的。 Wigner-Seitz 原胞
选取方法：任选一个格点为原点，作其与最近和次近邻格点连线的垂直平分面，这些垂直平分面所封闭的包含晶格原点的最小空间，称为Wigner-Seitz原胞
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