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第七章 习题及解答
11h?1. 设有一个体系，由三个定位的一维简谐振子所组成，体系能量为2
动，试求体系全部的微观状态数。
???(??)h?解 对振动
，这三个振子在三个固定的位置上振
12???，在总能量
11h?2时，三个一维简谐振子可能有以下四种分布方式：
（1）
1N0=2, N4=1, ?0?2?h?2?9??h?, 42?3!?3 , t1?1!2!3!?3 , t2?1!2!??, 3?（2）
1??1?h?N0=1, N2=2, 02??5, ?2?2?h?2???, 1?（3）
1N0=1, N1=1, N3=1, ?0?h?23??2?h?N1=2, N2=1, 12?3h?23!7?6 h?, t3?1!1!1!2（4）
5h?, ?2?2?3!?3 , t4?1!2!Ω= t1+t2+t3+t4=3+3+6+3=15
2. 当热力学体系的熵函数S增加0.418J〃K-1时，体系的微观状态数增加多少？用解 S1=klnΩ1， S2=klnΩ2, S2-S1=kln(Ω2/Ω1)
ln(Ω2/Ω1)=(S2-S1)/k =(0.418J·K-1)/(1.38×10-23J〃K-1)=3.03×1022
??/?1表示。
??/?1=(Ω-Ω)/Ω=(Ω/Ω)-1≈Ω/Ω
2
1
1
2
1
2
1
= exp(3.03×1022)
3. 在海平面上大气的组成用体积百分数可表示为：N2(g)为0.78，O2(g)为0.21，其他气体为0.01。设大气中各种气体都符合Bolzenmann分布，假设大气柱在整个高度内的平均温度为220K。试求：这三类气体分别在海拔10km，60km和500km处的分压。已知重力加速度为9.8m·s-2。 解 所用公式为p=p0e -Mgh/RT，其中M(空气) =29g·mol-1， M(N2)=28g·mol-1， M(O2)=32g·mol-1， M(其它)=[M(空气)-0.78M(N2)-0.21M(O2)]/0.01
=44 g·mol-1，
海拔10km处
pN2?28?10?3?9.8?10?103??0.78p0exp????0.1740p0
8.314?220???32?10?3?9.8?10?103?pO2?0.21p0exp????0.0378p0
8.314?220???44?10?3?9.8?10?103?p其它?0.01p0exp????0.0009p0
8.314?220??p总?pN2?pO2?p其它?0.2127p0
xN2?0.8181，xO2?0.1777，x其它?0.0042；
海拔60km处
pN2?28?10?3?9.8?60?103??5?0.78p0exp???9.61?10p0 ?8.314?220???32?10?3?9.8?60?103?-6pO2?0.21p0exp???7.15?10p0 ?8.314?220???44?10?3?9.8?60?103?-9p其它?0.01p0exp???7.19?10p0 ?8.314?220??p总?pN2?pO2?p其它?1.0326?10?4p0
xN2?0.9307，xO2?0.0692，x其它?0.0001；
在海拔500km处
pN2?2.0667?10?33p0，xN2?0.999994
pO2?1.2354?10?38p0，xO2?0.000006
p其它?6.4299?10?54p0，x其它的数值太小，可忽略不计。
6. 设有一极大数目的三维平动子组成的粒子体系，运动与边长为a的立方容器内，体系的体积、粒子质量和温度
h2有如下关系：
8ma29h2=0.10kT，求处于能级?1?4ma227h2和?2?8ma2上粒子数目的比值N1/N2。
解 由玻尔兹曼分布得
N1g1e??1/kT?N2g2e??2/kT18h2???1.8kT
， 128mag1=3 (n2x?n?n2y2z?114???18) ??141?
?411???27h2?2??2.7kT
28ma222n?n?ng2=4 (xyz?3?5?27) ??1??1?31513115???? ???N13e?1.830.9??2.7?e?1.84 N24e4N??1?0.26，式中υ为振动量子数，7.将N2气在电弧中加热，从光谱中观察到处于第一激发振动态的相对分子数
N??0N??0为基态占有的分子数，N??1为第一激发态占有的分子数，已知N2气的振动频率??6.99?1013s?1。
(1) 计算气体温度。
(2) 计算振动能量在总能量(包括平动、转动和振动)中所占的百分数。
解 （1）根据波尔兹曼分布
N??1N??03h?exp(?)2kT?exp(?h?)?0.26? h?kTexp(?)2KT代入h、ν、k、T数值得
T?2490K。
,
3（2）平动、转动为经典自由度，服从能量均分原理，故Ut=RT2Ur?RT。
??lnq??U??RT????T?V,N2????2Te??ln?1?e???/T??RT2(?T????)V,N
R??e???/T?R????(2857K)R
???/T21?eU?(2857K)R??100%?31.5% 3Ut?Ur?U?(2490K)R?(2490K)R?(2857K)R28. 设有一极大数目的三维平动子组成的粒子系统，运动于边长为a的立方容器内，系统的体积、粒子质量和温度的
h2关系为：
8ma2=0.10kT，试计算平动量子数为1，2，3和1，1，1两个状态上粒子分布数的比值。
14h2?1.4kT解 量子数为1，2，3时?5?28ma3h2?0??0.3kT。由玻尔兹曼分布
28ma??5/kT ；量子数为1，1，1时
N5e???0/kT?e?(?5??0)/kT?e?(1.4kT?0.3kT)/kT?e?1.1?0.3329。 N0e9.设某理想气体A，其分子的最低能级是非兼并的，取分子的基态作为能量零点，相邻能级的能量为ε，其兼并度为2，忽略更高能级。
（1） 写出A分子的总配分函数的表示式。 （2） 设ε=kT, 求出相邻两能级上最概然分子数之比N1/N0的值。 （3） 设ε=kT,试计算1摩尔该气体的平均能量为多少？（设T=298.15K）
??i/kT??0/kT??1/kTq?gege?ge?i解 （1） =0=1+2e1i(2)N1/N0=2e
-ε/kT
-ε/kT
=2e=0.735
-1
2e??/kT???lnq?2?RT?2?(3)U?RT???/kT1?2ekT??T?V,N22e?10.735?RT?0.424RT=1051J· =mol-1 ?11?0.7351?2e10. (1)某单原子理想气体的配分函数q具有下列形式q=Vf(T)，试导出理想气体的状态方程 。
?2?mkT?2?V （2）若该单原子理想气体的配分函数q??2?h?的状态方程 。
3，试导出压力p和内能U的表示式，以及理想气体
1NkT??lnq???ln[Vf(T)]?p?NkT?NkT?NkT?f(T)?????解 （1）
?VVf(T)V??V?N,T??N,T对1mol气体Nk=R，V=Vm所以有pVm=RT。
?h?1?2?mkT???lnq???p?NkT?NkT?????（2）2????V?N,T??2?mkT?V?h同理，对1mol气体有pVm=RT。
23232?NkTV