发布时间 : 星期一 文章2011年高考数学总复习系列知识点与方法 - 高中数学必修五更新完毕开始阅读
变式1：若ai∈R, bi∈R, i=1, 2, ?, n，则(a)??bi?1in2i(?ai)2(?bi)2i?1i?1nn.
等号成立条件为ai=λbi,(i=1, 2, ?, n)。
变式2：设ai, bi同号且不为0(i=1, 2, ?, n)，则
ai??bi?1in(?ai)2n?abii?1i?1n.
i等号成立当且仅当b1=b2=?=bn. （2）【必会】平均值不等式：设a1, a2,?,an∈R+，记Hn=
n111????a1a2an, Gn=na1a2?an,
22a1?a2???ana12?a2???anAn=，则Hn≤Gn≤An≤Qn. 即调和平均≤几何平均≤算术平均≤,Qn?nn平方平均。
其中等号成立的条件均为a1=a2=?=an.
【证明】 由柯西不等式得An≤Qn，再由Gn≤An可得Hn≤Gn，以下仅证Gn≤An. 1）当n=2时，显然成立；
2）设n=k时有Gk≤Ak，当n=k+1时，记1?ka1a2?akak?1=Gk+1. 因为a1+a2+?+ak+ak+1+(k-1)Gk+1≥kka1a2?ak?kkak?1?Gk?1 ≥2k2ka1a2?ak?1Gk?1?2k2kGk?1?2kGk+1, 所以a1+a2+?+ak+1≥(k+1)Gk+1，即Ak+1≥Gk+1. 所以由数学归纳法，结论成立。 （3）排序不等式：
222anana12a2?1例15 已知a1, a2,?,an∈R，求证；??????a1+a2+?+an.
a2a3ana1+
k?12kk?1222anana12a2?1【证明】证法一：因为?a1?2a1,?a3?2a2，?，?an?2an?1,?a1 ≥2an.
a2a3ana1222anana12a2?1上述不等式相加即得≥a1+a2+?+an. ?????a2a3ana1222?a12a2?anan?1?证法二：由柯西不等式?(a1+a2+?+an)≥(a1+a2+?+an)2， ??????aana1??2a3?222anana12a2?1因为a1+a2+?+an >0，所以≥a1+a2+?+an. ?????a2a3ana1222证法三： 设a1, a2,?,an从小到大排列为ai?ai???ai，则ai?ai???ai，
nn1212111????，由排序原理可得 aiaiainn?11
222anaa12a2?1nai?ai???ai=a1+a2+?+an≥，得证。 ?????n12a2a3ana1数学必修5 第 17 页 共 19 页
注：本讲的每种方法、定理都有极广泛的应用，希望读者在解题中再加以总结。
三、趋近高考【必懂】 1.（成都市2010届高三第三次诊断理科）不等式(A){x|－1≤x≤2} (C){x|－1≤x＜2} 【答案】B
[
]
x?2?0的解集为（ ） x?1
(B) {x|－1＜x≤2} (D){x|－1＜x＜2}
【解析】原不等式等价于??(x?1)(x?2)?0，
?x?1?0解得－1＜x≤2
2.（成都市2010理）某物流公司有6辆甲型卡车和4辆乙型卡车，此公司承接了每天至少运送280t货物的业务，已知每辆甲型卡车每天的运输量为30t，运输成本费用为0.9千元；每辆乙型卡车每天的运输量为40t，运输成本为1千元，则当每天运输成本费用最低时，所需甲型卡车的数量是( ) (A)6 (B)5 【答案】C
【解析】设需要甲型卡车x辆，乙型卡车y辆
(C)4
y z＝0.9x＋y 4 A 3x＋4y＝28 x 6 (D)3
?30x?40y?280?由题意?0?x?6且x、y∈Z
?0?y?4?运输成本目标函数z＝0.9x＋y 及需要甲型卡车和乙型卡车各4辆。 3.(绵阳2010年)把圆C：x2?y2?0 画出可行域(如图)可知，当目标函数经过A(4,4)时，z最小7.6千元 1按向量a=(h，-1)平移后得圆C1，若圆C1在不等式x+y+1 2
（C）
≥0所确定的平面区域内，则h的最小值为（ A ） （A）1
（B）-1
3 3 （D）?3 34．（雅安市2010届高三第三次诊断性考试理科）已知函数f(x)的定义域为[?3,??)，部分函数值如表所示，其导函数的图象如图所示，若正数a，b满足f(2a?b)?1，则的取值范围是( B )
b?2a?2
A．(,1)
25 B．(,4) 25 C．(1,4) D．(??,)?(4,??)
255.（2010四川省攀枝花市文）已知函数
f(x)?ax2?bx?1?a,b?R?.
(Ⅰ)若f(?1)?0且对任意实数x均有f(x)?0成立，求实数a,b的值；
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（Ⅱ）在(Ⅰ)的条件下，当【解析】）?f(?1)?0x???2,2?时， g(x)?f(x)?kx是单调函数，求实数k的取值范围.
?a?b?1?0即b?a?1
又对任意实数x均有f(x)?0成立
2???b2?4a?0恒成立，即(a?1)?0恒成立
?a?1,b?2
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f(x)?x?2x?1?g(x)?x?(2?k)x?1
22?g(x)在x?[－2，2]时是单调函数，?2?
?[?2,2]?(??,k?2k?2]或[?2,2]?[,??)22
k?2k?2或??222 即实数k的取值范围为(??,?2]?[6,??)
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