发布时间 : 星期二 文章基于共形几何代数的GIS三维空间数据模型 - 图文更新完毕开始阅读
中国科学: 地球科学 2010年 第40卷 第12期: 1740 ~ 1751 www.scichina.com earth.scichina.com
引用格式: Yuan L W, Yu Z Y, Luo W, et al. A 3D GIS spatial data model based on conformal geometric algebra. Sci China Earth Sci, 2010, doi:
10.1007/s11430-010-4130-9 《中国科学》杂志社 SCIENCE CHINA PRESS 论 文
基于共形几何代数的GIS 三维空间数据模型 袁林旺*, 俞肇元, 罗文, 周良辰, 闾国年?
南京师范大学虚拟地理环境教育部重点实验室, 南京 210046 * 联系人, E-mail: yuanlinwang@njnu.edu.cn; ? 同等贡献, E-mail: gnlu@njnu.edu.cn
收稿日期: 2010-08-18; 接受日期: 2010-11-02
国家高技术研究发展计划专项课题(编号: 2009AA12Z205、国家自然科学重点基金(批准号: 40730527和国家自然科学青年基金(批准号: 41001224 资助
摘要 利用共形几何代数(CGA多维表达的统一性、几何意义的明确性及运算的坐标无关性等优势, 构建了基于其上的GIS 三维空间数据模型: 通过建立不同维度地理对象与Clifford 代数基本要素(Blades的映射, 实现代数空间中不同维度、不同类型地理对象统一表达与运算, 并基于内积、外积实现了内蕴不同维度层次构建及度量关系的几何形体构建; 构建了基于CGA 的三维GIS 空间数据模型整体架构、数据存储结构和编辑、更新机制, 并基于CGA 几何与拓扑运算基本算子, 实现面向对象的三维GIS 几何和拓扑分析功能; 某小区三维数据的实例演示表明, 基于CGA
的三维GIS 空间数据模型可有效表达不同维度的复杂几何形体, 且几何和拓扑关系运算具有简明、高效等特点, 具备支撑三维乃至时空GIS 数据模型的潜力.
关键词
共形几何代数 三维空间数据 模型 三维度量 三维空间关系
由二维GIS 向三维GIS 以及时态GIS 拓展是GIS 发展的必然趋势. 三维空间数据模型是三维GIS 的基础, 也是现阶段GIS 研究的重点和热点问题之一[1]. 学术界对三维空间拓扑模型[2~5]、空间关系表达框 架[6~8]、三维空间可视化[9~14]、三维空间数据集成[15~17]以及三维空间数据库[18~20]等方面进行了较为广泛的探讨[21,22], 所发展的三维空间数据模型已在数字城市[23~28]、数字海洋[29]以及数字矿山[30,31]等领域得到了应用. 但总体上, 现有数据模型在支撑复杂地理对象表达、多维空间关系和地学分析以及对地理模型多维运算支撑仍显不足[1,32]. 因此, 构建可支撑多维复杂地理对象统一表达与运算的三维数据模型, 提升对复杂空间分析及地理分析模型的支撑能力, 是现阶段GIS 数据模型研究的主要方向.
GIS 处理对象从二维到三维乃至高维的转变, 在数据量极大增大的同时, 也导致了不同对象类型和空间关系的改变, 因而对几何对象表达、几何与拓扑分析的多维统一表达与运算提出了更高的要求, 现有的数据模型多基于欧氏几何框架, 在维度扩展时可能导致空间语义的多义性、空间查询信息的不完备性、空间特征的模糊性和不确定性以及空间模拟与推理的复杂性等问题[33,34]. 因而三维GIS 的发展需要从数据处理流程乃至系统体系结构上进行改造. 从底层数学基础上进行创新, 建立能够支撑不同维度的统一表达和计算的理论框架, 进而发展可支撑复杂地理对象的表达、分析、建模与模拟的GIS 空间分析方法是现阶段GIS 数据模型创新的可能途径.
共形几何代数(Conformal Geometric Algebra, 中国科学: 地球科学 2010年 第40卷 第12期
1741
CGA 是Clifford 代数的一种[35,36], 它将维度运算作为几何运算的基础, 现有基于计算几何、射影几何的相关算法经过简单的变换即可统一到CGA 框架下[37]. 其优越的几何计算能力和时空表达能力, 已被广泛应用于相对论物理学、计算机视觉和机器人学等领 域[37~39]. 因此从基础理论和方法支撑层面, CGA均具备了发展以多维融合为特征的新型GIS 数据模型的潜力. 本文将CGA 引入GIS 数据模型研究, 基于多维统一分析框架, 构建了可支撑复杂几何形体的多维统一表达、度量及空间关系运算的三维GIS 数据模型, 并进行了系统实现与案例数据分析.
1 共形几何代数与基本几何体表达 1.1 Clifford代数及多维统一的数学表达
给定两个向量a 和b , Clifford积可表达为ab =a ·b +a ∧b . 其中: a ·b 为a 和b 的内积, 运算结果为一个标量; a ∧b 为外积, 其结果为一个二重矢量(Bivector. 两者分别与向量代数中点积和叉积类似, 但不仅限于三维空间. 外积与内积的维度运算与几何意义表现在: 内积为降维操作, 当a ·b =0时, 非零向量a , b 正交; 外积为升维操作, 且当a ∧b =0时, a , b 平行. 类同于复数同时包含了实部与虚部运算, Clifford 积实现了标量运算与矢量运算、维度运算和几何运算的统一, 且可实现坐标无关的几何关系运算及维度变换运算, 从而可有效地简化基于其上的几何对象、几何变换以及几何关系的表达与运算[40].
多重向量(Multivector是Clifford 代数空间中可同时包含多个不同维度的基本数据结构之一, 通过将不同维度对象(如标量(scalar、向量(vector、二重矢量(bivector、三重矢量(trivector等 用“+”号进行连接, 实现对不同维度对象的统一表达与运算. 此处“+”号仅用于连接不同维度对象, 而并不进行数值运算. Clifford代数通过定义标定其基本元素及符号, 使得不同维度间运算相互正交, 进而实现不同维度对象的统一表达与运算. 而多重向量的阶数(Grade运算则可有效解析出其中不同维度的对象. 以三维多重向量A 为例, 其数学表达为
=+++++++01122331212 23233131123123 , A a a e a e a e a e a e a e a e (1
其中a 0为标量, Grade为0; a 1e 1, a 2e 2和a 3e 3为向量,
Grade 为1; a 12e 12, a 23e 23和a 31e 31为二重矢量, Grade为2; a 123e 123为三重矢量, Grade为3. 上述8个对象也被称为Blade, 是构成三维Clifford 代数空间Cl 3,0的基本单位.
1.2 CGA及其内、外积的几何意义
在三维欧氏空间中, 外积和内积对不同维度的运算结构与几何层次间不具有统一性. 欧氏几何空间的Grassmann 分级结构并不对应于几何体的分级结构. 如欧氏空间中点表示从原点出发到该点的向量, 但2点的外积并不表示过这两点的直线, 而是表示过原点和这两点的平面. Li等[35,36]在欧氏空间基础上, 通过共形变换将欧氏空间嵌入共形空间, 构建了共形几何代数, 使得代数空间的Grassmann 分级结构完全对应于几何体的分级结构, 即不同维度几何形体构建可直接通过外积表达, 而内积则用于表征距离和角度[40]. 因而CGA 有效降低了基本几何形体构建的难度, 并实现了同时包含几何造型与几何关系运算的多维统一表达与分析框架[40].
CGA 对欧氏空间的嵌入保持了原有欧氏空间的表达形式, 且其嵌入的射影空间特性保证了新增的射影维度的系数变化不影响所嵌入的欧氏空间表达.
CGA 可为包括欧氏几何、双曲(非欧 几何、球面几何、投影几何、仿射几何等提供统一和简洁的齐性代数框架. 在CGA 中, 所有的几何关系都包含于Clifford 积, 各种维度的平面和球的几何度量与其几何构造对偶, 几何上的交和扩张对应于Cayley 代数交和并[41]. 各 种几何变换可以用旋量和转量显式表示[41]. 同时