发布时间 : 星期四 文章[数学]1.2.3《直线与平面的位置关系(2)》更新完毕开始阅读
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§1.2.3 直线与平面的位置关系(2)
教学目标：
1．掌握直线和平面垂直的定义、点面距离、线面距离的概念 2．掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理
3．会用“线线垂直”与“线面垂直”之间的相互转化解决线线、线面垂直问题
教学重点：
直线和平面垂直的判定定理和性质定理及其运用
教学难点：
直线和平面垂直的判定定理和性质定理及其运用
教学过程：
1．问题情境
(1)情境：圆锥的形成过程：直角三角形绕着它的一条直角边所在直线旋转一周形成的几何体．
(2) 问题：轴SO与底面内的哪些直线垂直呢？能不能说轴SO垂直于底面中的所有直线呢？为什么？(轴SO与底面中任一半径垂直；对于底面中任意一条直线，总可以找到一条半径与之平行，而轴SO与任意一条半径都垂直，因此，轴SO垂直于底面中的所有直线．) 2．直线与平面垂直的定义
如果一条直线a与一个平面?内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a垂直于平面?，记作a??．直线a叫做平面?的垂线，平面?叫做直线a的垂面，垂线和平面的交点称为垂足．
问题1：平面中，过一点有多少条直线与已知直线垂直？(有且只有一条)
问题2：在空间中，过一点有几条直线与已知平面垂直？过任意一点有几个平面与已知直线垂直？你能证明你的结论吗？ 结论：过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直． 点到平面的距离：过平面?外一点A向平面?引垂线，则点A和垂足B之间的距离叫做点A到平面?的距离．
问题3：如果两条平行线中的一条垂直于第三条直线，那么另一条和这条直线的位置关系又怎样呢？(垂直)
问题4：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条和这个平面的位置关系又怎样呢？(垂直)为什么？
例1．已知：a//b，a??，求证：b??． 证明：设直线m是平面?内任意一条直线，
∵a??，m??，∴a?m，又∵a//b，∴b?m，所以，b??． 3．直线与平面垂直的判定定理
如果一条直线和平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面． 即：a?m,a?n,m?n?A,m??,n??，则a??．
直线与平面垂直的判定方法：(1)定义；(2)判定定理；(3) a//b,a???b??。 4．直线与平面垂直的性质定理
如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行． 已知：如图，a??,b??，求证：a//b．
证明：(反证法)假定b不平行于a，则b与a相交或异面； (1)若a与b相交，设a?b?O，b?是经过点O与直线a 平行的直线．∵a//b?,a??，所以b???，
即经过同一点O有两条直线b,b?都垂直于平面?，不可能． (2) 若a与b异面，设b???O，b?是经过点O与直线a 平行的直线．∵a//b?,a??，所以b???，
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即经过同一点O有两条直线b,b?都垂直于平面?，不可能．
因此，a//b．
5．线面距离的概念
例2．已知：直线l//平面?，求证：直线a上的各点到平面?的距离相等．
证明：过直线l上任意两点A,B分别引平面?的垂线AA?,BB?，垂足分别为A?,B?， ∵AA???,BB???，∴AA?//BB?，
Al设经过直线AA?,BB?的平面为?，????A?B?，
∵l//?∴A?B?//l∴四边形AA?B?B为平行四边形
∴AA??BB?，即直线上的各点到平面?的距离相等． 线面距离：如果一条直线和一个平面平行，这条直线上 ?A'任意一点到平面的距离叫做这条直线和平面的距离． 6．例题讲解
例3．如图，已知P是菱形ABCD所在平面外一点，且PA?PC， P求证：AC?平面PBD
证明：连结AC,BD并设交点为O，连结PO，
?四边形ABCD为菱形，?AC?BD，且O为AC中点， ?PA?PC，?PO?AC，
?PO?BD?O,PO,BD?平面PBD，
?BB'AODC?AC?平面PBD。
例4．已知在三棱锥P?ABC中，顶点P在底面ABC内的射影为?ABC的垂心， 求证：PA?BC,PB?AC,PC?AB
证明：连结PO,AO，
?O为顶点P在底面ABC内的射影， ?PO?平面ABC，?PO?BC， 又?O为?ABC的垂心，?AO?BC， ?PO?AO?O,PA,AO?平面PAO， ?BC?平面PAO，
?PA?平面PAO，?PA?BC， 同理PB?AC,PC?AB。
BPAOBC7．课堂小结
(1)基本概念：直线和平面垂直、点面距离、线面距离．
(2)直线和平面垂直的判定定理和性质定理及其在实现“线线垂直”与“线面垂直”之间相互转化时的应用．
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