发布时间 : 星期六 文章2021版高考数学一轮复习第9章解析几何第8节直线与圆锥曲线的综合问题第4课时圆锥曲线中的证明与探索性问题更新完毕开始阅读
第4课时 圆锥曲线中的证明与探索性问题
A级·基础过关|固根基|
x2y23
1.设椭圆C1：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，F1，F2是椭圆的两个焦点，M是椭圆上任
ab2
意一点，且△MF1F2的周长是4＋23.
(1)求椭圆C1的方程；
(2)设椭圆C1的左、右顶点分别为A，B，过椭圆C1上的一点D作x轴的垂线交x轴于点E，→→→→
若点C满足AB⊥BC，AD∥OC，连接AC交DE于点P，求证：|PD|＝|PE|.
解：(1)由e＝
3c33
，知＝，所以c＝a， 2a22
因为△MF1F2的周长是4＋23，
所以2a＋2c＝4＋23，所以a＝2，c＝3， 所以b＝a－c＝1，
所以椭圆C1的方程为＋y＝1.
4
(2)证明：由(1)得A(－2，0)，B(2，0)， 设D(x0，y0)，所以E(x0，0)． →→
因为AB⊥BC，所以可设C(2，y1)， →→
所以AD＝(x0＋2，y0)，OC＝(2，y1)． 2y0→→
由AD∥OC可得(x0＋2)y1＝2y0，即y1＝. x0＋2所以直线AC的方程为
2
2
2
x2
2
yx＋2＝. 2y04
x0＋2
整理得y＝(x＋2)．
2（x0＋2）
又点P在DE上，将x＝x0代入直线AC的方程可得y＝，即点P的坐标为?x0，?，所以
2?2?
y0
y0
?
y0?P为DE的中点，|PD|＝|PE|.
x2y2
2．已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的两个焦点与短轴的一个顶点连线构成等边三角形，且
ab椭圆C的短轴长为23.
(1)求椭圆C的标准方程；
- 1 -
→→
(2)是否存在过点P(0，2)的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，且满足OM·ON＝2(O为坐标原点)，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
?2b＝23，?a＝2，
解：(1)由题意得?a＝2c，解得?b＝3，
?a＝b＋c，?c＝1，
2
2
2
∴椭圆C的标准方程是＋＝1.
43
→→
(2)不妨设点M在点N上方，当直线l的斜率不存在时，M(0，3)，N(0，－3)，则OM·ON＝－3，不符合题意．
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋2，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
x2y2
xy??＋＝1，22由?43消去y整理得，(3＋4k)x＋16kx＋4＝0， ??y＝kx＋2，
1122
由Δ＝(16k)－16(3＋4k)>0，解得k<－或k>，
2216k4
则x1＋x2＝－2，x1x2＝2，
3＋4k3＋4k4（1＋k）32k16－12k→→2
∴OM·ON＝x1x2＋y1y2＝(1＋k)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝－22＋4＝2.
3＋4k3＋4k3＋4k16－12k→→
∵OM·ON＝2，∴2＝2，
3＋4k解得k＝±
2
，满足Δ>0， 2
2
x＋2. 2
2
2
2
2
22
∴存在符合题意的直线l，其方程为y＝±3.
如图，圆C与x轴相切于点T(2，0)，与y轴正半轴相交于两点M，N(点M在点N的下方)，且|MN|＝3.
(1)求圆C的方程；
(2)过点M任作一条直线与椭圆＋＝1相交于两点A，B，连接AN，BN，求证：∠ANM84＝∠BNM.
解：(1)设圆C的半径为r(r>0)，依题意，圆心C的坐标为(2，r)．
- 2 -
x2y2
25?3??5?25222
因为|MN|＝3，所以r＝??＋2，解得r＝.所以圆C的方程为(x－2)＋?y－?＝. 44?2??2?
2
22
?5?25
(2)证明：把x＝0代入方程(x－2)＋?y－?＝，解得y＝1或y＝4，即点M(0，1)，
4?2?
2
2
N(0，4)．
①当AB⊥x轴时，可知∠ANM＝∠BNM＝0. ②当AB与x轴不垂直时，可设直线AB的方程为
y＝kx＋1.
y＝kx＋1，??22
22
联立方程?xy消去y得，(1＋2k)x＋4kx－6＝0.
＋＝1，??84
－4k－6
设直线AB交椭圆于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则x1＋x2＝2，x1x2＝2. 1＋2k1＋2k所以kAN＋kBN＝
y1－4y2－4kx1－3kx2－32kx1x2－3（x1＋x2）1
＋＝＋＝＝x1x2x1x2x1x2x1x2
?－12k2＋12k2?＝0.
?1＋2k1＋2k???
所以∠ANM＝∠BNM. 综上，∠ANM＝∠BNM.
4．(2019届湖北八校联考)已知抛物线C：y＝2px(p>0)在第一象限内的点P(2，t)到焦5点F的距离为.
2
|QF|?1?(1)若N?－，0?，过点N，P的直线l1与抛物线相交于另一点Q，求的值； |PF|?2?(2)若直线l2与抛物线C相交于A，B两点，与圆M：(x－a)＋y＝1相交于D，E两点，O为坐标原点，OA⊥OB，试问：是否存在实数a，使得|DE|为定值？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
5p5
解：(1)因为点P(2，t)到焦点F的距离为，所以2＋＝，解得p＝1，
222
1??－a＋b＝0，22故抛物线C的方程为y＝2x，P(2，2)，设直线l1为y＝ax＋b，则?解得
??2a＋b＝2，
2
2
2
??
?2 ??b＝5，
a＝，
42
所以l1的方程为y＝x＋，
55
- 3 -
45
42??y＝x＋，1
联立得?55可解得xQ＝，
82??y＝2x，
5
155|QF|81
又|QF|＝xQ＋＝，|PF|＝，所以＝＝.
282|PF|54
2
(2)存在．设直线l2的方程为x＝ny＋m(m≠0)，代入抛物线方程可得y－2ny－2m＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2n，y1y2＝－2m，① 由OA⊥OB得，(ny1＋m)(ny2＋m)＋y1y2＝0， 整理得(n＋1)y1y2＋nm(y1＋y2)＋m＝0，②
将①代入②解得m＝2或m＝0(舍去)，满足Δ＝4n＋8m>0，所以直线l2：x＝ny＋2. 因为圆心M(a，0)到直线l2的距离d＝
（a－2）1－， 2
1＋n2
2
2
2
2
2
|a－2|1＋n2
，
所以|DE|＝2
显然当a＝2时，|DE|＝2，
所以存在实数a＝2，使得|DE|为定值. B级·素养提升|练能力|
5.已知抛物线C：x＝2py(p>0)的焦点为F，直线2x－y＋2＝0交抛物线C于A，B两点，
2
P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q.
(1)D是抛物线C上的动点，点E(－1，3)，若直线AB过焦点F，求|DF|＋|DE|的最小值； →→→→
(2)是否存在实数p，使|2QA＋QB|＝|2QA－QB|？若存在，求出p的值；若不存在，说明理由．
解：(1)∵直线2x－y＋2＝0与y轴的交点为(0，2)， ∴F(0，2)，则抛物线C的方程为x＝8y，准线l：y＝－2. 设过D作DG⊥l于G，则|DF|＋|DE|＝|DG|＋|DE|， 当E，D，G三点共线时，|DF|＋|DE|取最小值2＋3＝5.
2
(2)假设存在，抛物线x＝2py与直线y＝2x＋2联立方程组得
2
x2－4px－4p＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，Δ＝(4p)＋16p＝16(p＋p)>0，则x1＋x2＝4p，x1x2＝－4p，
- 4 -
2
2