发布时间 : 星期一 文章高二数学选修2-2综合测试卷（答案）更新完毕开始阅读
当n?1时，a1?(0,1)，不等式成立． 假设n?k时，ak?(0,1) 那么ak?1? ?1?e ?0?ak1(eak?1) e?1?e?????0?eak?1?e? 11(eak?1)? 1e?1 即ak?1?(0,1)
这表明n?k?1时，不等式成立． 所以对n?N，an?(0,1) ②因为(e?1)an?1?an?en?1?an
考虑函数p(x)?e?1?x????(0?x?1) p?(x)?e?1?0 从而p(x)在(0,1)上是增函数
xxa?p(x)?p(0)?0
所以(e?1)an?1?an?0 即(e?1)an?1?an
20． 已知函数f(x)?alnx?ax?3(a?R)．
（Ⅰ）当a?1时，求函数f(x)的单调区间；
（Ⅱ）若函数y?f(x)的图像在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为45?，问：m在什么范
围取值时，对于任意的t?[1,2]，函数g(x)?x?x[极值？
（Ⅲ）当a?2时，设函数h(x)?(p?2)x?32m?f'(x)]在区间(t,3)上总存在2p?2e?3，若在区间[1,e]上至少存在一个xx0，使得h(x0)?f(x0)成立，试求实数p的取值范围．
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解（Ι）由f'(x)?a(1?x)(x?0)知： x当a?1时，函数f(x)的单调增区间是(0,1)，单调减区间是(1,??)；
（Ⅱ）由f'(x)??a2?1得到a??2，故f(x)??2lnx?2x?3,f'(x)?2?， 2xg(x)?x3?x2[mm?f'(x)]?x3?(2?)x2?2x,g'(x)?3x2?(4?m)x?2 22?g'(2)?0，解得：
g'(3)?0?因为g(x)在区间(t,3)上总存在极值，且1?t?2，所以??3737?m??9，故当??m??9时，对于任意的t?[1,2]，函数33m?f'(x)]在区间(t,3)上总存在极值。 2p2e??2lnx xxg(x)?x3?x2[（Ⅲ）f(x)?2lnx?2x?3，令F(x)?h(x)?f(x)?px?①当p?0时，由x?[1,e]得到px?p?0,?得h(x0)?f(x0)成立；
2e?2lnx?0,所以在[1,e]上不存在x0，使x②当
px2?2x?p?2ep?0时，F'(x)?x2，因为
x?[1,e]，所以
2e?2x?0,px2?p?0，F'(x)?0在[1,e]上恒成立，故F(x)在[1,e]上单调递增。
F(x)max?F(e)?pe?pp4e，所以p的?4，由题意可知pe??4?0，解得p?2eee?1取植范围是(4e,??)。 2e?11(x?2a)2． 221.已知a?0，设函数f(x)?alnx?2a?x?2a，g(x)?（I）求函数h(x)?f(x)?g(x)的最大值；
（II）若e是自然对数的底数，当a?e时，是否存在常数k、b，使得不等式
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f(x)?kx?b?g(x)对于任意的正实数x都成立？若存在，求出k、b的值，若不存在，请说
明理由．
解：（I）∵h(x)?alnx?12x2 (x?0)， ………………（2分） ∴h?(x)?a(x?a)(x?a)x?x??x．
x (0,a) a (a,??) h?(x) + 0 - h(x) ? 极大值 ? ∴当x?a时，函数h(x)取最大值
alna?a2； ………………（4分） （II）当a?e时，h(x)?f(x)?g(x)的最大值是0，
即f(x)?g(x)，当且仅当x?e时取等号， ………………（6分）
函数f(x)和g(x)的图象在x?e处有且仅有一个公共点(e,e2)，
∵f?(x)?ex?2e，函数f(x)的图象在x?e处切线斜率是kf??e，
∵g?(x)?x?2e，函数g(x)的图象在x?e处切线斜率是kg??e， ∴f(x)和g(x)的图象在x?e处有公共切线方程为y??ex?3e2， ………………（8分）
设F(x)?f(x)?(?ex?3e2)?elnx?ex?eee(x?e)2，F?(x)?x?e??xx (0,e) e (e,??) F'(x)+ 0 - F(x) ? 极大值 ? ∴当x?e时，函数F(x)取得最大值0，∴f(x)??ex?3e2恒成立； ………………（10分）
∵g(x)?(?ex?3e1e12)?2x2?ex?2?2(x?e)2?0，
∴g(x)??ex?3e2在x?R时恒成立；
∴当a?e时，k??e，b?3e2． ………………（12分）
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