发布时间 : 星期日 文章高优指导高考数学一轮复习 考点规范练29 等差数列及其前n项和 理(含解析)北师大版更新完毕开始阅读
考点规范练29 等差数列及其前n项和 考点规范练A册第18页 基础巩固组
1.若数列{an}的首项a1=1,且an=an-1+2(n≥2),则a7等于( )
A.13 B.14 C.15 D.17 答案:A
解析:∵an=an-1+2(n≥2),∴an-an-1=2.
又a1=1,∴数列{an}是以1为首项,以2为公差的等差数列,故a7=1+2×(7-1)=13. 2.已知Sn为等差数列{an}的前n项和,a2+a8=6,则S9等于( ) A. B.27 C.54 D.108 答案:B
解析:S9==27.
3.(2015北京,理6)设{an}是等差数列.下列结论中正确的是( ) A.若a1+a2>0,则a2+a3>0 B.若a1+a3<0,则a1+a2<0 C.若0
D.若a1<0,则(a2-a1)(a2-a3)>0 答案:C
解析:设等差数列公差为d.
对于A选项,a1+a2=2a1+d>0, 而a2+a3=2a1+3d不一定大于0; 对于B选项,a1+a3=2a1+2d<0, a1+a2=2a1+d不一定小于0;
对于C选项,0
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对于D选项,(a2-a1)(a2-a3)=-d≤0.故只有C正确. 4.在等差数列{an}中,a2=3,a3+a4=9,则a1a6的值为( ) A.14 B.18 C.21 D.27 答案:A
解析:设等差数列{an}的公差为d,
则依题意得由此解得
故a6=a1+5d=7,即a1a6=14.
5.已知每项均大于零的数列{an}中,首项a1=1,且前n项和Sn满足Sn-Sn-1=2(n∈N+,且n≥2),则a81等于( ) A.638 B.639 C.640 D.641?导学号92950488? 答案:C
解析:由已知Sn-Sn-1=2,可得=2,∴{}是以1为首项,2为公差的等差数列,
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故=2n-1,Sn=(2n-1),
∴a81=S81-S80=1612-1592=640,故选C.
6.(2015广州综合测试)设Sn是等差数列{an}的前n项和,公差d≠0,若S11=132,a3+ak=24,则正整数k的值为( ) A.9 B.10 C.11 D.12 答案:A
解析:依题意得S11==11a6=132,a6=12,于是有a3+ak=24=2a6,因此3+k=2×6=12,k=9,故选A.
7.已知数列{an}是等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,{an}的前n项和为Sn,则使得Sn达到最大的n是( ) A.18 B.19 C.20 D.21 答案:C
解析:a1+a3+a5=105?a3=35,a2+a4+a6=99?a4=33,
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则{an}的公差d=33-35=-2,a1=a3-2d=39,Sn=-n+40n,因此当Sn取得最大值时,n=20. 8.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S10=10,S20=30,则S30= . 答案:60
解析:∵Sn是等差数列{an}的前n项和,
∴S10,S20-S10,S30-S20也成等差数列. ∴2(S20-S10)=S10+(S30-S20).∴S30=60.
9.(2015江苏无锡一模)已知数列{an}中,a1=1,a2=2,当整数n≥2时,Sn+1+Sn-1=2(Sn+S1)都成立,则S15= . 答案:211
解析:由Sn+1+Sn-1=2(Sn+S1)得(Sn+1-Sn)-(Sn-Sn-1)=2S1=2,即an+1-an=2(n≥2),∴数列{an}从第二项起构成以2为首项,2为公差的等差数列,则S15=1+2×14+×2=211.
10.在等差数列{an}中,a1=7,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n=8时,Sn取得最大值,则d的取值范围为 . 答案:
解析:由题意知当d<0时,Sn存在最大值.
∵a1=7>0,∴数列{an}中所有非负项的和最大. 又∵当且仅当n=8时,Sn取最大值, ∴
解得-1 11.(2015杭州模拟)已知等差数列{an},a10=30,a20=50. (1)求通项an; (2)若数列{an}的前n项和Sn=242,求n的值. 解:(1)设公差为d,由an=a1+(n-1)d,a10=30,a20=50, 得方程组 解得a1=12,d=2.故an=2n+10. (2)由Sn=na1+d,Sn=242, 得方程12n+×2=242, 解得n=11(n=-22舍去). 12.(2015陕西咸阳模拟)已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足a3·a4=117,a2+a5=22. (1)求通项公式an; (2)求Sn的最小值; (3)若数列{bn}是等差数列,且bn=,求非零常数c. 解:(1)∵数列{an}为等差数列, ∴a3+a4=a2+a5=22. 又a3·a4=117, ∴a3,a4是方程x2-22x+117=0的两实根. 又公差d>0,∴a3 ∴通项公式an=4n-3. (2)由(1)知a1=1,d=4, ∴Sn=na1+d=2n2-n=2. ∴当n=1时,Sn最小,最小值为S1=a1=1. 2 (3)由(2)知Sn=2n-n, ∴bn=, ∴b1=,b2=,b3=. ∵数列{bn}是等差数列, ∴2b2=b1+b3,即×2=, ∴2c2+c=0, ∴c=-(c=0舍去),故c=-.?导学号92950489? 能力提升组 2 2 13.(2015东北三省四市联考)《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目:把100个面包给5个人,使每人所得成等差数列,且使较大的三份之和的是较小的两份之和,则最小的一份为( ) A. B. C. D. 答案:A 解析:依题意,设这100份面包所分成的五份由小到大依次为a-2m,a-m,a,a+m,a+2m, 则有 解得a=20,m=,a-2m=,即其中最小一份为,故选A. 14.若数列{an}满足:a1=19,an+1=an-3(n∈N+),则数列{an}的前n项和数值最大时,n的值为( ) A.6 B.7 C.8 D.9?导学号92950490? 答案:B 解析:∵a1=19,an+1-an=-3, ∴数列{an}是以19为首项,-3为公差的等差数列. ∴an=19+(n-1)×(-3)=22-3n. 设{an}的前k项和数值最大,则有k∈N+. ∴≤k≤. ∵k∈N+,∴k=7. ∴满足条件的n的值为7. 15.已知数列{a=13ann}是等差数列,a1=tan 225°,a51,设Sn为数列{(-1)an}的前n项和,则S2 016=( ) A.2 014 B.-2 014 C.3 024 D.-3 021?导学号92950491? 答案:C 解析:∵a1=tan 225°=1,∴a5=13a1=13, 则公差d==3,∴an=3n-2. 又∵(-1)nann=(-1)(3n-2), ∴Sn=(a2-a1)+(a4-a3)+(a6-a5)+…+(a2 012-a2 011)+(a2 014-a2 013)+(a2 016-a2 015)=1 008d=3 024. 16.等差数列{an}的前n项和为Sn,已知S10=0,S15=25,则nSn的最小值为 .?导学号92950492? 答案:-49 解析:设数列{an}的首项为a1,公差为d, 则S10=10a1+d=10a1+45d=0,① S15=15a1+d=15a1+105d=25.② 联立①②,得a1=-3,d=, ∴Sn=-3n+n2-n. 令f(n)=nS,则f(n)=n3-n2,f'(n)=n2 n-n. 令f'(n)=0,得n=0或n=. 当n>时,f'(n)>0,0 ∴当n=7时,f(n)取最小值-49. 17.(2015安徽宿州调研)已知函数f(x)=x2-2(n+1)x+n2 +5n-7. (1)设函数y=f(x)的图像的顶点的纵坐标构成数列{an},求证:{an}为等差数列; (2)设函数y=f(x)的图像的顶点到x轴的距离构成数列{bn},求{bn}的前n项和Sn. 解:(1)证明:∵f(x)=x2-2(n+1)x+n2 +5n-7 =[x-(n+1)]2+3n-8,∴an=3n-8, ∵an+1-an=3(n+1)-8-(3n-8)=3, ∴数列{an}为等差数列. (2)由题意知,bn=|an|=|3n-8|, ∴当1≤n≤2时,bn=8-3n, Sn=b1+…+bn= 3 =; 当n≥3时,bn=3n-8, Sn=b1+b2+b3+…+bn=5+2+1+…+(3n-8) =7+. ∴Sn=?导学号92950493? 4