发布时间 : 星期日 文章山东省莱芜市2015年中考数学试题（word版含解析）更新完毕开始阅读
21．（9分）（2015?莱芜）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，G为BD的中点，连接CG，BE，CD，BE与CD交于点F．
（1）判断四边形ACGD的形状，并说明理由． （2）求证：BE=CD，BE⊥CD．
考点： 全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；平行四边形的判定． 专题： 证明题． 分析： （1）利用等腰直角三角形的性质易得BD=2BC，因为G为BD的中点，可得BG=BC，
由∠CGB=45°，∠ADB=45得AD∥CG，由∠CBD+∠ACB=180°，得AC∥BD，得出四边形ACGD为平行四边形；
（2）利用全等三角形的判定证得△DAC≌△BAE，由全等三角形的性质得BE=CD；首先证得四边形ABCE为平行四边形，再利用全等三角形的判定定理得△BCE≌△CAD，易得∠CBE=∠ACD，由∠ACB=90°，易得∠CFB=90°，得出结论． 解答： （1）解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°， ∴AB=
BC，
∵△ABD和△ACE均为等腰直角三角形， ∴BD=
=BC
=2BC，
∵G为BD的中点， ∴BG=BD=BC，
∴△CBG为等腰直角三角形， ∴∠CGB=45°，
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∵∠ADB=45°， AD∥CG，
∵∠ABD=45°，∠ABC=45° ∴∠CBD=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠CBD+∠ACB=180°， ∴AC∥BD，
∴四边形ACGD为平行四边形；
（2）证明：∵∠EAB=∠EAC+∠CAB=90°+45°=135°， ∠CAD=∠DAB+∠BAC=90°+45°=135°， ∴∠EAB=∠CAD， 在△DAC与△BAE中，
，
∴△DAC≌△BAE， ∴BE=CD；
∵∠EAC=∠BCA=90°，EA=AC=BC， ∴四边形ABCE为平行四边形， ∴CE=AB=AD， 在△BCE与△CAD中，
，
[来源学科网]∴△BCE≌△CAD， ∴∠CBE=∠ACD，
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∵∠ACD+∠BCD=90°， ∴∠CBE+∠BCD=90°， ∴∠CFB=90°， 即BE⊥CD．
点评： 本题主要考查了等腰直角三角形的性质，平行四边形和全等三角形的判定及性质定理，综合运用各种定理是解答此题的关键． 22．（10分）（2015?莱芜）今年我市某公司分两次采购了一批大蒜，第一次花费40万元，第二次花费60万元．已知第一次采购时每吨大蒜的价格比去年的平均价格上涨了500元，第二次采购时每吨大蒜的价格比去年的平均价格下降了500元，第二次的采购数量是第一次采购数量的两倍．
（1）试问去年每吨大蒜的平均价格是多少元？
（2）该公司可将大蒜加工成蒜粉或蒜片，若单独加工成蒜粉，每天可加工8吨大蒜，每吨大蒜获利1000元；若单独加工成蒜片，每天可加工12吨大蒜，每吨大蒜获利600元．由于出口需要，所有采购的大蒜必需在30天内加工完毕，且加工蒜粉的大蒜数量不少于加工蒜片的大蒜数量的一半，为获得最大利润，应将多少吨大蒜加工成蒜粉？最大利润为多少？
考点： 一元一次不等式组的应用；分式方程的应用．
分析： （1）设去年每吨大蒜的平均价格是x元，则第一次采购的平均价格为（x+500）元，第二次采购的平均价格为（x﹣500）元，根据第二次的采购数量是第一次采购数量的两倍，据此列方程求解；
（2）先求出今年所采购的大蒜数，根据采购的大蒜必需在30天内加工完毕，蒜粉的大蒜数量不少于加工蒜片的大蒜数量的一半，据此列不等式组求解，然后求出最大利润． 解答： 解：（1）设去年每吨大蒜的平均价格是x元，
由题意得，×2=，
解得：x=3500，
经检验：x=3500是原分式方程的解，且符合题意， 答：去年每吨大蒜的平均价格是3500元； （2）由（1）得，今年的大蒜数为：
×3=300（吨），
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设应将m吨大蒜加工成蒜粉，则应将（300﹣m）吨加工成蒜片，
由题意得，，
解得：100≤m≤120，
总利润为：1000m+600（300﹣m）=400m+180000， 当m=120时，利润最大，为228000元．
答：应将120吨大蒜加工成蒜粉，最大利润为228000元．
点评： 本题考查了分式方程和一元一次不等式耳朵应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．
23．（10分）（2015?莱芜）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上任一点（不与A，B重合），AB⊥CD于E，BF为⊙O的切线，OF∥AC，连结AF，FC，AF与CD交于点G，与⊙O交于点H，连结CH． （1）求证：FC是⊙O的切线； （2）求证：GC=GE；
（3）若cos∠AOC=，⊙O的半径为r，求CH的长．
考点： 圆的综合题． 专题： 计算题．
分析： （1）首先根据OF∥AC，OA=OC，判断出∠BOF=∠COF；然后根据全等三角形判定的方法，判断出△BOF≌△COF，推得∠OCF=∠OBF=90°，再根据点C在⊙O上，即可判断出FC是⊙O的切线．
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