发布时间 : 星期一 文章2019年河北省保定市高考数学二模试卷(理科)更新完毕开始阅读
【分析】（1）推导出BC⊥SD，BC⊥CD，从而BC⊥平面SDC，进而AD⊥平面SDC，SC⊥AD，SC⊥SD，由此能证明SC⊥平面SAD．
（2）作SO⊥CD于O，以点O为原点，建立坐标系，利用向量法能求出平面SEC与平面SBC所成的二面角的正弦值．
【解答】证明：（1）∵BC⊥SD，BC⊥CD， ∴BC⊥平面SDC，∴AD⊥平面SDC，∴SC⊥AD， 又在△SDC中，SC＝SD＝2，DC＝AB＝∴SC+SD＝DC，∴SC⊥SD， ∵AD∩SD＝D，∴SC⊥平面SAD．
解：（2）作SO⊥CD于O，∵BC⊥平面SDC， ∴平面ABCD⊥平面SDC，∴SO⊥平面ABCD 以点O为原点，建立坐标系如图， 则S（0，0，
），C（0，
，0），A（2，﹣
，∴
，即E（（2，
，0），
，
设平面SEC的法向量＝（x，y，z），平面SBC的法向量＝（a，b，c），
，0），B（2，
，0）
2
2
2
，
设E（（2，y，0），∵∴
则，∴，取z＝3，得＝（2，3，3），
，∴，取z＝1，得＝（0，1，1），
∴，
∴平面SEC与平面SBC所成的二面角的正弦值为
第17页（共23页）
．
【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题． 19．（12分）某次招聘分为笔试和面试两个环节，且只有笔试过关者方可进入面试环节，笔试与面试都过关才会被录用．笔试需考完全部三科，且至少有两科优秀才算笔试过关，面试需考完全部两科且两科均为优秀才算面试过关，假设某考生笔试三科每科优秀的概率均为，面试两科每科优秀的概率均为 （1）求该考生被录用的概率；
（2）设该考生在此次招聘活动中考试的科目总数为ξ，求ξ的分布列与数学期望． 【分析】（1）根据相互独立事件的概率公式计算；
（2）ξ的取值有3，5，求出各自的概率得出分布列和数学期望． 【解答】解：（1）该考生被录用，说明该考生笔试与面试均得以过关． 所以P＝
（2）易得ξ的可能取值为3，5． P（ξ＝3）＝ξ P ∴
3 5 ．
，
．
．
【点评】本题考查了相互独立事件的概率计算，考查离散型随机变量的分别列与数学期望，属于中档题．
20．（12分）已知抛物线E：y＝8x，直线l：y＝kx﹣4． （1）若直线l与抛物线E相切，求直线l的方程；
（2）设Q（4，0），直线l与抛物线E交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），若存在点C，满足
2
，且线段OC与AB互相平分（O为原点），求x2的取
第18页（共23页）
值范围．
【分析】（1）联立方程组，令判别式等于0求出k的值；
（2）根据根与系数的关系和四边形OACB为平行四边形求出C点坐标，根据CQ⊥AC列方程得出x2关于k的函数，根据k的范围得出x2的范围． 【解答】解：（1）由
2
得kx﹣8（k+1）x+16＝0，
2
22
显然k≠0，△＝64（k+1）﹣64k＝0，解得k＝﹣． 所以，直线l的方程为：
22
．
（2）由得kx﹣8（k+1）x+16＝0，
2
2
∵△＝64（k+1）﹣64k＞0，且k≠0，∴∴
，
，且k≠0． ，
因为线段OC与AB互相平分，所以四边形OACB为平行四边形， ∴由
所以kAC?kQC═﹣1
＝
得，AC⊥QC，
，即C
，
又kQC＝
，，
所以若k＞0，则∴0＜x2≤4（若﹣＜k＜0，
＝k++2≥2﹣1）．
，所以
+2，当且仅当k＝
，
时取等号，
＝k++2≤﹣2
+2＜0，故x2＜0，不符合题意．
综上，x2的范围是（0，4（
﹣1）]．
【点评】本题考查了抛物线的性质，考查直线与抛物线的位置关系，属于中档题． 21．（12分）已知函数f（x）＝xlnx+ax+1﹣a． （1）求证：对任意实数a，都有[f（x）]min≤1；
第19页（共23页）
（2）若a＝2，是否存在整数k，使得在x∈（2，+∞）上，恒有f（x）＞（k+1）x﹣2k﹣1成立？若存在，请求出k的最大值；若不存在，请说明理由．（e＝2.71828…） 【分析】（1）利用导数可得[f（x）]min＝f（e令t（a）＝[f（x）]min，则由t'（a）＝﹣1+e＝1，即结论成立．
（2）法1：由题设化简可得k则
8＜x0＜9，且lnx0＝
，令h（x）＝
，
﹣（a+1）
）＝1﹣a﹣e
﹣（a+1）
，
﹣（a+1）
＝0得[t（a）]max＝t（﹣1）＝1+1﹣1
，令g（x）＝x﹣4﹣2lnx．设x﹣4﹣2lnx＝0并记其零点为x0，故．
可得h（x）（x0）＝min＝h
＝，即，可得k的最大值为4．
法2：由题设化简可得x+xlnx＞k（x﹣2）
令t（x）＝xlnx+（1﹣k）x+2k，所以t'（x）＝lnx+2﹣k 由t'（x）＝lnx+2﹣k＝0得x＝e①若e
k﹣2
k﹣2
．分以下情况讨论：
≤2，②若e
k﹣2
＞2，
【解答】解：（1）证明：由已知易得f（x）＝a（x﹣1）+xlnx+1，所以f'（x）＝a+1+lnx 令f'（x）＝a+1+lnx＝0得，x＝e显然，x∈（0，e
﹣（a+1）
﹣（a+1）
．
﹣（a+1）
）时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；x∈（e，+∞）时，
f'（x）＞0，函数f（x）单调递增 所以[f（x）]min＝f（e
﹣（a+1）
）＝1﹣a﹣e
﹣（a+1）
．
＝0得a＝﹣1a∈（﹣∞，﹣1）时，t'
令t（a）＝[f（x）]min，则由t'（a）＝﹣1+e
﹣（a+1）
（a）＞0，函数t（a）单调递增；a∈（﹣1，+∞）时，t'（a）＜0，函数t（a）单调递减 所以[t（a）]max＝t（﹣1）＝1+1﹣1＝1，即结论成立． （2）法1：由题设化简可得k则
．
，令h（x）＝
，
令g（x）＝x﹣4﹣2lnx． 又
，∴x＞2时，g'（x）＞0，即g（x）单调递增，
4
2
5
2
∵g（8）＝4﹣2ln8＝lne﹣ln8＜0，g（9）＝5﹣2ln9＝lne﹣ln9＞0．
第20页（共23页）