发布时间 : 星期四 文章机械能补充练习(2)更新完毕开始阅读
侧壁压力为0. 5rag，试求小球在 从A到B的运动过程中克服轨道阻力所做的功（细管的内 径及球的大小不计）．
2．（浙江，24）某校物理兴趣小组决定举行遥控赛车比赛．比赛 路径如图18 - 27所示，赛车从起点A出发，沿水平直线轨道 运动L后，从日点进入半径为R的光滑竖直圆轨道，离开竖 直圆轨道后继续在光滑平直轨道上运动到C点，并能越过壕 沟．已知赛车质量m =0. lkg，通电后以额定功率P=I.5W 工作，进入竖直圆轨道前受到的阻力恒为0. 3N，随后在运动 中受到的阻力均可不计．图中L= 10. 00m，R=0.32m，^= 1.25m．s =l.50m.
问：要使赛车完成比赛，电动机至少工作多长时间？（取 g= lOm/s2)
【解析】设赛车越过壕沟需要的最小速度为口，，由平抛运动的规律知s =vlt,h =-~gt2， 解得% =S飞／磊=3m／s．
并设赛车刚好过圆轨道，则在圆轨道最高点的速度为v2，在最低点的速度为%，由牛顿运动定律及机械能守恒定律得mg= 遽 1 2 1 2
m百，丁荆，= ~mv2+ mg' 2R，解得%2乃R =4m/s，
所以赛车要完成比赛，在进入圆轨道前的最小速度v=4m/s.设电动机的工作时间至少为t，则根据功能原理得Pt -fL= 1 ， ? 丁砌，
代入数据，解得f；2. 53s.”
度为口，通过D点时轨道对小球的支持力F（大小等于小球对轨道的压力）是它做圆周运动的向心力， 即 m勃=F=竽mg， 、 ①小球从尸点落下直到沿光滑轨道运动的过程中，机械能守恒，有 mg日+芋）=÷舢2， ②由①②式解得高度珂=2-R =10m． (2)设小球能够沿竖直半圆轨道运动到D点的最小速度为 御：
””有 m丽=mg， ③小球至少应从距OA高皿处落下，则删以=丢-哗：，， ④联立③④式可得皿=导，由于日>皿，故小球可以通过o点，小球由H高处落下，通过0点的速度为 Vo=2西= 14. lm/s.
(3)小球通过0点后做平抛运动，设小球经时间t落到AB圆弧轨道上，以D为坐标原点，水平向左为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向建立平面直角坐标系，有 戈=Vot， ⑤ y=扣2， ⑥且 菇2+ y2= R2， ⑦联立⑤⑥⑦可解得时间t= ls(另解舍去)， 小球落到轨道上时，速度的大小”=~／02 +g2t2= 17.3m/s.
【例3】如图19 -6所示，跨过同一高 度处的定滑轮的细线连接着质量相 同的物体A和B，A套在光滑水平杆 上，定滑轮离水平杆的高度^= 0. 2m，开始时让连着A的细线与水
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平杆的夹角01 =370，由静止释放曰，当细线与水平杆的夹角吼=530时，A的速度为多大？在以后的运动过程中，A所获得的最大速度为多大？（设B不会碰到水平杆，sin370=0.6， sin53.=0.8，取g=10m/s2)
【解析】对A、B两物体组成的系统，只有动能和重力势能的相互 转化，机械能守恒，设绳与水平面间的夹角如= 53。时，A的速 度为%，B的速度为%，此过程中B下降的高度为^¨则有 嘶，=÷砌j+÷舢；，其中hI=蠹爵一蒜蠢，VACos02副a，代 入数据，解以上关系式得%=1. lm/s。A沿着杆滑到左侧滑轮 正下方的过程中，绳子拉力对A做正功，A做加速运动，此后绳 子拉力对A做负功，A做减速运动，故当岛=900时，A的速度最 大，设为/)Am，此时B下降到最低点，B的速度为零，此过程中B 下降的高度为h2则有，嘶：=丢祸由，其中h2=三岳一^，代 入数据解得YAm= 1.6m/s.
【例4】如图19 -7所示，半径为r，质量不计 的圆盘盘面与地面垂直，圆心处有一个垂 直盘面的光滑水平定轴0，在盘的右边缘 固定有一个质量为m的小球A，在O点正 下方离O点÷处固定一个质量也为m的
小球B，放开盘让其自由转动．问：
(1)当A转动到最低点时，两小球的重力势能之和减少了 多少？ (2)A球转动到最低点时的线速度是多少？
(3)在转动过程中，半径OA向左偏离竖直方向的最大角度是 多少？
【解析】求两小球重力势能之和的减少量，可选取任意参考平面 为零势能参考平面进行计算，由于圆盘转动过程中，只有两小 球的重力做功，根据机械能守恒定律可列式算出A球的线速 度和半径OA的最大偏角．
(1)以通过转轴O的水平面为零势能面，开始时两球的重力 势能之和为
Epl=EpA+ Eps=o-丢mgr=- --~mgr, 当小球A转到最低点时，两小球的重力势能之和为： Ep2= -mgr+0=-mgr，
故两小球重力势能之和的减少量为 △Ep= Epl - Ep2=一÷，咿一（一，咿）=吉-，愕r．
(2)由于圆盘转动过程中，只有两球的重力做功，机械能守 恒，因此两球重力势能之和的减少量一定等于两球动能的增 加量，设A球转到最低点时，A、B的线速度分别为%和%，则 上- 1 r，咿=丁碱+÷舢各
因A、B两球固定在同一圆盘上，转动过程中角速度相等，所以
r一%2 2vn，代入上式解得%2弘矿．(3)设半径OA向左偏离竖直线的最大角度 为p，如图19 -8所示，该位置系统的机械能与开始时的机械能分别为
B=E，，= mg ~-smO - mgrcosO,
例5】如图19 - 10所示，传送带与水平面之间的夹角为300，其中A、B两点间的距，离为5m，传送带在电动机的带动下以 v=lm/s的速度匀速运转，现将一质量为 m= 10kg的小物体（可视为质点）轻放在
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传送带的A点，已知小物体与传送带间的动摩擦因数p=譬，则在传送带将小物体从A点传送到B点的过程中，求：
(1)传送带对小物体做了多少功？
(2)小物体由A点传送到曰点的过程中，传送带对小物体摩擦力的最大功率P血是多大？ (3)为传送小物体，电动机额外需做多少功？（g取lOm/s2）
解析】(1)小物体刚放到传送带上时，其受力情况如图19 -11所示，小物体沿传送带做匀加速直线运动．由牛顿第二定律得：
F，l一，ngsin30。=maI， ① 且F:I =pmgcos30。， 解①②得o．=丢苫=2. 5m/s2．
小物体在达到与传送带相同的速度前经过的位移 2a 1嘉m=o．2m． 5l=乏口，一2×： 因sI =0.2m <5m，且F6> mgsin30。，故此后小物体和传送带一起做匀速直线运动；对应的位移为s2三(5-0. 2)m =4. 8m，
受到的摩擦力为静摩擦力 F:2= mgsin300=丢略
传送带全过程对小物体做功 、 3
形= F6s，+F/2s2=亍嶝．+丢呼：=255J．也可以用能的转化和守恒求解 野=-~mv2+mg/~sin30。 1 =i×10×l 2J+10×lo×5．÷J =255J.
(2)小物体加速阶段，摩擦力的最大功率 P，m 2 F，l?口=/ungcos30。?口=75W， 匀速阶段，摩擦力为静摩擦力，功率不变，为 P，Ⅲ?=%。口2 mgsin300口=50W， 所以摩擦力的最大功率为P:m =75W.
(3)小物体和传送带发生相对滑动的时间 t，=v=0.4s， 相对位移 As =vtI—sl;(1×0.4-0. 2)m =0. 2m, 接触面之间产生的热量 Q=F6 \，
由功能关系知，电动机需额外做功 形?=△Ek+△Ep+Q=÷删2+mgh+Q =(÷×lOxl2 +10×10×2.5+15)J =270J.
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5．如图19 -27所示，小球用不可伸长、长为 L的轻线悬于O点，在O点正下方有一 固定的钉子B，OB =d，把小球拉至水平 无初速度释放，为使小球能绕B点做圆 周运动，试求d的取值范围．
6．半径为R的光滑圆环竖直放置，环上套有 两个质量分别为m和2m的小球A、B．A、B 之间用一长为R的轻杆相连，如图19 - 28 所示，开始时，A、B都静止，且A在圆环的 最高点，现将A、B释放，求：
(1)A到达最低点时的速度大小； (2)第(1)伺过程中杆对B球做的功．
7．如图19 - 29所示，B是质量为2m、半径为R 的光滑半球形碗，放在光滑的水平桌面上．A 是质量为m的细长直杆，光滑套管D被固 定在竖直方向，A可以自由上下运动，物块 C的质量为m，紧靠半球形碗放置．初始时， A杆被握住，使其下端正好与碗的半球面的
上边缘接触．然后从静止开始释放A，A、B、C便开始运动．求：(1)长直杆的下端运动到碗的最低点时，长直杆竖直方向的速度和B、C水平方向的速度；
(2)运动过程中，长直杆的下端能上升到的最高点距离半球形碗底部的高度．
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