发布时间 : 星期六 文章高中数学新人教版选修2-2课时作业：第一章 导数及其应用1.2.1几个常用函数的导数基本初等函数的导数公式更新完毕开始阅读
线l平行的抛物线的切线方程，并在弧AOB上求一点P，使△ABP的面积最大．
解 设P(x0，y0)为切点，过点P与AB平行的直线斜率k＝ y′＝2x0，∴k＝2x0＝2，∴x0＝1，
y0 ＝1.
故可得P(1,1)，∴切线方程为2x－y－1＝0.
由于直线l: 2x－y＋4＝0与抛物线y＝x相交于A、B两点，所以|AB|为定值，要使△ABP的面积最大，只要P到AB的距离最大，故P(1,1)点即为所求弧?AOB上的点，使△ABP的面积最大．
反思与感悟 利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P(x0，y0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关．解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算． 跟踪训练3 点P是曲线y＝e上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．
解 根据题意设平行于直线y＝x的直线与曲线y＝e相切于点(x0，y0)，该切点即为与y＝x距离最近的点，如图．则在点(x0，y0)处的切线斜率为1， 即y′|x＝x0＝1.∵y′＝(e)′＝e，
∴ex0＝1，得x0＝0，代入y＝e，得y0＝1，即P(0,1)．利用点到直线的距离公式得距离为xxxxx2
2. 2
1．给出下列结论： 13①若y＝3，则y′＝－4； xx133
②若y＝x，则y′＝x；
31－3
③若y＝2，则y′＝－2x；
x④若f(x)＝3x，则f′(1)＝3. 其中正确的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 答案 C
1－3
解析 ①y＝3＝x，
x3－4
则y′＝－3x＝－4；
x112133
②y＝x＝x，则y′＝·x－≠x；
3333
1－2－3
③y＝2＝x，则y′＝－2x；
x④由f(x)＝3x，知f′(x)＝3， ∴f′(1)＝3. ∴①③④正确．
2．函数f(x)＝x，则f′(3)等于( ) A.C.3 612x B．0 D.3 2
答案 A
1
解析 ∵f′(x)＝(x)′＝，
2x∴f′(3)＝
123
＝3. 6
3．设正弦曲线y＝sin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是( ) π3πA．0，]∪，π) 44π3πC．，] 44答案 A 解析 ∵(sin x)′＝cos x， ∵kl＝cos x，
π3π
∴－1≤kl≤1，∴αl∈0，]∪，π)．
44
4．曲线y＝e在点(2，e)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________． 12
答案 e
2
解析 ∵y′＝(e)′＝e，∴k＝e，
∴曲线在点(2，e)处的切线方程为y－e＝e(x－2)， 即y＝ex－e.
当x＝0时，y＝－e，当y＝0时，x＝1. 1122
∴S△＝×1×|－e|＝e.
22呈重点、现规律]
2
2
2
2
2
2
B．0，π) ππ3πD．0，]∪，] 424x2
xx2
1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归． 2．有些函数可先化简再应用公式求导．
如求y＝1－2sin的导数．因为y＝1－2sin＝cos x，
22所以y′＝(cos x)′＝－sin x.
3．对于正、余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化.
2
x2
x
一、基础过关
1．下列结论中正确的个数为( )
112
①y＝ln 2，则y′＝；②y＝2，则y′|x＝3＝－；
2x27③y＝2，则y′＝2ln 2；④y＝log2x，则y′＝A．0 B．1 C．2 D．3 答案 D 解析 ①y＝ln 2为常数，所以y′＝0.①错．
12．过曲线y＝上一点P的切线的斜率为－4，则点P的坐标为( )
xx1. xln 2
x?1?A.?，2? ?2??1?C.?－，－2? ?2?
答案 B
?1??1?B.?，2?或?－，－2?
?2??2??1?D.?，－2? ?2?
11?1?解析 y′＝??′＝－2＝－4，x＝±，故选B.
x2?x?
3．已知f(x)＝x，若f′(－1)＝－4，则a的值等于( ) A．4 B．－4 C．5 D．－5 答案 A 解析 f′(x)＝ax4．曲线y＝答案
134 1
a－1a，f′(－1)＝a(－1)
a－1
＝－4，a＝4.
3π
在x＝a处的切线的倾斜角为，则a＝____.
4x
3?1
解析 y′＝(x)′＝－·x2，
2
?123?1
∴y′|x＝a＝－·a2＝－1，
2
∴a＝
134
. 5．若曲线y＝x在点(a，a)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a等于( )
A．64 B．32 C．16 D．8 答案 A
1?3解析 ∵y＝x，∴y′＝－x2，
2
?12?12?121?3∴曲线在点(a，a)处的切线斜率k＝－a2，
2
?121?3∴切线方程为y－a＝－a2(x－a)． 2?123?1令x＝0得y＝a2；令y＝0得x＝3a. 2∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 13?1912S＝·3a·a＝a2＝18，∴a＝64. 22496．曲线y＝在点M(3,3)处的切线方程是________．
x答案 x＋y－6＝0
9
解析 ∵y′＝－2，∴y′|x＝3＝－1，∴过点(3,3)的斜率为－1的切线方程为y－3＝－(x－
x3)即x＋y－6＝0. 7．求下列函数的导数：
1x532x2
(1)y＝x；(2)y＝4；(3)y＝－2sin (1－2cos)；(4)y＝log2x－log2x.
x243333253解 (1)y′＝(x)′＝(x)′＝x－1＝x－ 55555＝
3.
52
5x14－4－4－1－5
(2)y′＝(4)′＝(x)＝－4x＝－4x＝－5.
xx