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中考数学压轴题专题复习—直角三角形的边角关系的综合附详细答案
一、直角三角形的边角关系
1．已知Rt△ABC中，AB是⊙O的弦，斜边AC交⊙O于点D，且AD=DC，延长CB交⊙O于点E．
（1）图1的A、B、C、D、E五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段CE的长？请说明理由；
（2）如图2，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F． ①若CF=CD时，求sin∠CAB的值；
②若CF=aCD（a＞0）时，试猜想sin∠CAB的值．（用含a的代数式表示，直接写出结果）
【答案】（1）AE=CE；（2）①【解析】
试题分析：（1）连接AE、DE，如图1，根据圆周角定理可得∠ADE=∠ABE=90°，由于AD=DC，根据垂直平分线的性质可得AE=CE；
（2）连接AE、ED，如图2，由∠ABE=90°可得AE是⊙O的直径，根据切线的性质可得∠AEF=90°，从而可证到△ADE∽△AEF，然后运用相似三角形的性质可得当CF=CD时，可得sin∠CED=
，从而有EC=AE=
=AD?AF．①
；②
．
CD，在Rt△DEC中运用三角函数可得
，根据圆周角定理可得∠CAB=∠DEC，即可求出sin∠CAB的值；②当
CF=aCD（a＞0）时，同①即可解决问题． 试题解析：（1）AE=CE．理由：
连接AE、DE，如图1，∵∠ABC=90°，∴∠ABE=90，∴∠ADE=∠ABE=90°，∵AD=DC，∴AE=CE；
（2）连接AE、ED，如图2，∵∠ABE=90°，∴AE是⊙O的直径，∵EF是⊙OO的切线，∴∠AEF=90°，∴∠ADE=∠AEF=90°，又∵∠DAE=∠EAF，∴△ADE∽△AEF，∴∴
=AD?AF．
，
①当CF=CD时，AD=DC=CF，AF=3DC，∴∴EC=
DC，∴sin∠CAB=sin∠CED=
=
=DC?3DC==．
；
，∴AE=DC，∵EC=AE，
②当CF=aCD（a＞0）时，sin∠CAB=∴AE=
DC，∵EC=AE，∴EC=
=
∵CF=aCD，AD=DC，∴AF=AD+DC+CF=（a+2）CD，∴
DC，
．
=DC?（a+2）DC=（a+2），
∴sin∠CAB=sin∠CED=
考点：1．圆的综合题；2．探究型；3．存在型．
2．已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、E分别在BC、AC边上，连结BE、AD交于点P，设AC=kBD，CD=kAE，k为常数，试探究∠APE的度数： （1）如图1，若k=1，则∠APE的度数为 ；
（2）如图2，若k=3，试问（1）中的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，求出∠APE的度数．
（3）如图3，若k=3，且D、E分别在CB、CA的延长线上，（2）中的结论是否成立，请说明理由．
【答案】（1）45°；（2）（1）中结论不成立，理由见解析；（3）（2）中结论成立，理由见解析.
【解析】
分析：（1）先判断出四边形ADBF是平行四边形，得出BD=AF，BF=AD，进而判断出△FAE≌△ACD，得出EF=AD=BF，再判断出∠EFB=90°，即可得出结论； （2）先判断出四边形ADBF是平行四边形，得出BD=AF，BF=AD，进而判断出△FAE∽△ACD，再判断出∠EFB=90°，即可得出结论；
（3）先判断出四边形ADBF是平行四边形，得出BD=AF，BF=AD，进而判断出△ACD∽△HEA，再判断出∠EFB=90°，即可得出结论；
详解：（1）如图1，过点A作AF∥CB，过点B作BF∥AD相交于F，连接EF，
∴∠FBE=∠APE，∠FAC=∠C=90°，四边形ADBF是平行四边形， ∴BD=AF，BF=AD． ∵AC=BD，CD=AE， ∴AF=AC． ∵∠FAC=∠C=90°， ∴△FAE≌△ACD，
∴EF=AD=BF，∠FEA=∠ADC． ∵∠ADC+∠CAD=90°， ∴∠FEA+∠CAD=90°=∠EHD． ∵AD∥BF， ∴∠EFB=90°． ∵EF=BF， ∴∠FBE=45°， ∴∠APE=45°．
（2）（1）中结论不成立，理由如下：
如图2，过点A作AF∥CB，过点B作BF∥AD相交于F，连接EF，
∴∠FBE=∠APE，∠FAC=∠C=90°，四边形ADBF是平行四边形， ∴BD=AF，BF=AD．
∵AC=3BD，CD=3AE，
ACCD??3． BDAE∵BD=AF，
∴
ACCD??3． AFAE∵∠FAC=∠C=90°， ∴△FAE∽△ACD，
∴
ACADBF???3，∠FEA=∠ADC． AFEFEF∵∠ADC+∠CAD=90°，
∴∠FEA+∠CAD=90°=∠EMD． ∵AD∥BF， ∴∠EFB=90°．
∴
在Rt△EFB中，tan∠FBE=∴∠FBE=30°， ∴∠APE=30°，
（3）（2）中结论成立，如图3，作EH∥CD，DH∥BE，EH，DH相交于H，连接AH，
EF3， ?BF3
∴∠APE=∠ADH，∠HEC=∠C=90°，四边形EBDH是平行四边形， ∴BE=DH，EH=BD． ∵AC=3BD，CD=3AE，
ACCD??3． BDAE∵∠HEA=∠C=90°， ∴△ACD∽△HEA，
∴
ADAC??3，∠ADC=∠HAE． AHEH∵∠CAD+∠ADC=90°， ∴∠HAE+∠CAD=90°， ∴∠HAD=90°．
∴