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?11??1??12??2?1?(3)? yt?1??1??S??S?S??tt22?1???1???2?1???1?????1??????本例中
11??1.42861??1?0.3
11??2.040820.49?1???则
1?11??4.469421???1???
12??5.51021???1???2令t=0，1，2，…，11，可求出各期的追溯预测值。
4.4 差分指数平滑法
在上节我们已经讲过，当时间序列的变动具有直线趋势时，用一次指数平滑法会出现滞后偏差，其原因在于数据不满足模型要求。因此，我们也可以从数据变换的角度来考虑改进措施，即在运用指数平滑法以前先对数据作一些技术上的处理，使之能适合于一次指数平滑模型，以后再对输出结果作技术上的返回处理，使之恢复为原变量的形态。差分方法是改变数据变动趋势的简易方法。下面我们讨论如何用差分方法来改进指数平滑法。
1．一阶差分—指数平滑模型
当时间序列呈直线增加时，可运用一阶差分—指数平滑模型来预测。其公式如下：
▽yt?yt?yt?1
?t?1??▽yt?(1??)▽y?t ▽y?t?1?▽y?t?1?yt y在前面我们已分析过，指数平滑值实质上是一种加权平均数。因此把序列中逐期增量的加
权平均数（指数平滑值）加上当前值的实际数进行预测，它比一次指数平滑法只用变量以往取值的加权平均数作为下一期的预测更合理。从而使预测值始终围绕实际值上下波动，从根本上克服了在有直线增长趋势的情况下，用一次指数平滑法所得出的结果始终落后于实际值的弊端。
例4.4.1 仍以例我国1986－2002年国内生产总值资料为例。试用一阶差分—指数平滑模型来预测2003年的国内生产总值。
解：由资料可看出，我国国内生产总值，除1994年、1995年外，逐期增长量大体是比较平稳的，即呈直线增长，因此可用一阶差分—指数平滑模型来预测。我们取α=0.4，初始值为新序列首项值，计算结果列于表中。预测2003年的国内生产总值为
?2003?7165.0＋103553.6＝110718.6（亿元） y
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表4.4.1 我国国内生产总值及差分指数平滑法计算表 （α=0.4） 单位：亿元 年份 国内生产总值yt 差分 差分指数平滑值 预测值 1986 10201.4 1987 11954.5 1753.1 1753.1 1988 14922.3 2967.8 1753.1 13707.6 1989 16917.8 1995.5 2238.98 17161.28 1990 18598.4 1680.6 2141.588 19059.39 1991 21662.5 3064.1 1957.193 20555.59 1992 26651.9 4989.4 2399.956 24062.46 1993 34560.5 7908.6 3435.733 30087.63 1994 46670 12109.5 5224.88 39785.38 1995 57494.9 10824.9 7978.728 54648.73 1996 66850.5 9355.6 9117.197 66612.1 1997 73142.7 6292.2 9212.558 76063.06 1998 76967.2 3824.5 8044.415 81187.11 1999 80579.4 3612.2 6356.449 83323.65 2000 88254 7674.6 5258.749 85838.15 2001 95727.9 7473.9 6225.09 94479.09 2002 103553.6 7825.7 6724.614 102452.5 2003 7165.048 110718.6 2．二阶差分—指数平滑模型
当时间序列呈现二次曲线增长时，可用二阶差分—指数平滑模型来预测，其公式如下：
▽yt?yt?yt?1
▽yt=▽yt?▽yt?1
2
?t?1=?▽yt+（1-?）▽y?t ▽y2
22
2
?t?1=▽y?t?1+▽yt+yt y▽表示二阶差分，与一阶差分—指数平滑模型类似
因为
2
yt?1?yt?1?yt?yt??yt?1?yt???yt?1??yt???yt?yt??yt?1??yt?yt2
同样，用▽yt+1的估计值代替▽yt+1得到公式
22
??yt?1??2yt?1??yt?yt
差分方法和指数平滑法的联合运用，除了能克服一次指数平滑法的滞后偏差之外，对初始值的问题也有显著的改进。因为数据经过差分平稳化处理后，所产生的新序列基本上是平稳的。这时，初始值取新序列的第一期数据对于未来预测值不会有多大影响。其次，它开拓了指数平滑法的适用范围，使一些原来需要运用配合趋势线方法处理的情况可用这种组合模型来取代。但是，对于指数平滑法存在的加权系数α的选择问题，以及只能逐期预测问题，差分—指数平滑模型也没有改进。 4.5 自适应过滤法
自适应过滤法与移动平均法、指数平滑法一样，也是以时间序列的历史观察值进行某种加权平均来预测的，它要寻找一组“最佳”的权数，其办法是先用一组给定的权数来计算一个预测值，然后计算预测误差，再根据预测误差调整权数以减少误差。这样反复进行，直至找出一组“最佳”权数，使误差减少到最低限度。由于这种调整权数的过程与通信工程中的过滤传输噪声的过程极为接近，故称为自适应过滤法。
自适应过滤法的基本预测公式为：
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N?yt?1?w1yt?w2yt?1?????wNyt?N?1??wiyt?i?1
i?1
?t?1为第t+1期的预测值； 式中：式中：ywi为第t-i+1期的观测值权数；
yt-i+1为第t-i+1期的观测值； N为权数的个数。
其调整权数的公式为：
wi??wi?2k?ei?1yt?i?1
式中：i=1,2,…,N ，t=N,N+1,…,n.n为序列数据的个数
wi为调整前的第i个权数 wi′为调整后的第i个权数 k称为学习常数；
ek+1为第t+1期的预测误差。
上式表明：调整后的一组权数应等于旧的一组权数加上误差调整项，这个调整项包括预测误差、原观测值和学习常数等三个因素。学习常数k的大小决定权数调整的速度。
下面举一个简单的例子来说明此法的全过程。设有一个时间序列包括10个观测值，如表4.5.1所示。
表4.5.1 某时间序列表 1 2 3 4 5 6 7 时期t 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 观测值yt 0.1 试用自适应过滤法，以两个权数来求第11期的预测值。 本例中我们取：N=2 取初始权数 w1=0.5 , w2=0.5
并设 k=0.9
t的取值由N=2开始，当t=2时：
（1）
按预测公式求第t+1=3期的预测值 （2） 计算预测误差 （3） 根据式：
8 0.8 9 0.9 10 1.0 ??yt?1?y3?w1y2?w2y1?0.5?0.2?0.5?0.1?0.15
?et?1?e3?y3?y3?0.3?0.15?0.15
wi??wi?2k?ei?1yt?i?1
调整权数为：
（1）-（3）结束，即完成了一次权数调整，然后t加1并重复以前步骤。当t=3时：
（1）利用所得到的权数，计算第t+1=4期的预测值。方法是，舍去最前面的一个观察值y1,增加一个新的观察值y3。即
??w1?2ke3y2?0.5?2?0.9?0.15?0.2?0.554w1??w2?2ke3y1?0.5?2?0.9?0.15?0.1?0.527w2??yt?1?y4?w1y3?w2y2?0.554?0.3?0.527?0.2?0.2716?et?1?e4?y4?y4?0.4?0.2716?0.1284?0.13
(2) 计算预测误差
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（3）调整权数
??0.554?2?0.9?0.13?0.3?0.624w1??0.527?2?0.9?0.13?0.2?0.564w2???y10?w2?y9yt?1?y11?w1
这样进行到t=10时，
但由于没有t=11时的观测值y11,因此
无法计算。这时，第一轮的调整就此结束。把现有的新权数作为初始权数，重新开始t=2的过程。这样反复进行下去，到预测误差（指一轮的预测总误差）没有明显改进时，就认为获得了一组“最佳”权数，能实际用来预测第11期的数值。本例在调整过程中，可使得误差降为零，而权数达到稳定不变，最后得到的“最佳”权数为
用“最佳”权数预测第11期的取值：
?et?1?e11?y11?y11
???1.0 w2??2.0 w1要达到这样的结果，在实际应用中，调整计算的工作量可能很大，必须借助于计算机才能
实现。
N、K值和初始权数的确定。在开始调整权数时，首先要确定权数个数N和学习常数k。一般说来，当时间序列的观测值呈季节变动时，N应取季节性长度值。如序列以一年为周期进行季节变动时，若数据是月度的，则取N=12,若季节是季度的,则取N=4.如果时间序列无明显的周期变动，则可用自相关系数法来确定，即取N为最高自相关系数的滞后时期.
k的取值一般可定为1/N,也可以用不同的k值来进行计算，以确定一个能使S最小的k值。 初始权数的确定也很重要，如无其它依据，也可用1/N作为初始权系数用，即
??y10?w2?y9?2?1.0???1??0.9?1.1y11?w1
wi?自适应过滤法有两个明显的优点:一是技术比较简单，可根据预测意图来选择权数的个数和学习常数，以控制预测。也可以由计算机自动选定。二是它使用了全部历史数据来寻求最佳权系数。并随数据轨迹的变化而不断更新权数，从而不断改进预测。
由于自适应过滤法的预测模型简单，又可以在计算机上对数据进行处理，所以这种预测方法应用较为广泛。
wi为第t-i+1期的观测值权数； yt-i+1为第t-i+1期的观测值； N为权数的个数。 其调整权数的公式为： i=1,2,…,N ，t=N,N+1,…,n. n为序列数据的个数 wi为调整前的第i个权数 wi′为调整后的第i个权数 k：称为学习常数；
ek+1为第t+1期的预测误差。
上式表明：调整后的一组权数应等于旧的一组权数加上误差调整项，这个调整项包括预测误差、原观测值和学习常数等三个因素。学习常数k的大小决定权数调整的速度。
自适应过滤法有两个明显的优点:一是技术比较简单，可根据预测意图来选择权数的个数
1?i?1,2,3???,N?N
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