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企业养老金制度改革的数学模型
摘要
本文主要通过研究山东省企业养老保险金的相关问题，从而进一步研究了我国处于过渡期中企业养老金制度改革问题。
问题一：工资增长应与国家经济的增长相关，针对预测2011年至2035年的山东省职工的年平均工资，则建立时间序列下的“经济阻滞增长模型”（logistic模型），并利用MATLAB软件进行非线性拟合，预测得到2011年至2035年的山东省职工的年平均工资。
问题二：考虑到企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比可看作职工缴费指数的参考值，利用题中附件3和已知条件，利用统计学中“组中值”的相关定义计算得出了个年龄阶段的缴费指数的参考值，并通过二次拟合得出了60～65岁缴费指数。建立了各种情况下养老金替代率的数学模型，通过计算，得出问题二中六种情况下的养老金替代率。
问题三：通过对问题中三种情况分析，建立了不同情况下计算缺口值的数学模型，利用MATLAB计算出了三种情况在75岁死亡的缺口值。再根据三种情况下，其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡时，该职工的年龄分别为74岁、78岁、84岁。
问题四：为了达到目标替代率和维持养老保险基金收支平衡，综合各种措施分别从定性、定量的角度进行分析。提出了三种有效措施：1、增大职工的缴费年限；2、延长职工的退休年龄；3、适当增加企业缴纳养老保险基金与职工工资总额的比例。 本文在建立时间序列下的经济阻滞增长模型的基础上，求出了不同情况下的养老保险金的替代率和缺口值。通过对各种因素进行分析，提出既要达到目标替代率，又要维持养老保险基金收支平衡的有效措施，较好的解决了企业养老金改革的相关问题。
关键词：阻滞增长模型 替代率 收支平衡 养老保险金
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一、问题重述
养老金也称退休金，是一种根据劳动者对社会所作贡献及其所具备享受养老保险的资格，以货币形式支付的保险待遇，用于保障职工退休后的基本生活需要。
我国企业把职工工资总额按一定比例（20%）作为基础养老金，再把职工个人工资按一定比例（8%）缴纳到个人账户。退休后，按职工在职期间每月（或年）的缴费工资与社会平均工资之比（缴费指数），再考虑到退休前一年的社会平均工资等因素，然后基础养老金加上个人账户养老金作为退休后每个月的养老金。养老金会随着社会平均工资的调整而调整。如果职工死亡，基础养老金不退给职工而个人账户中的余额可继承。个人账户储存额以银行当时公布的一年期存款利率计息，利率统一设定为3%。 影响养老保险基金收支平衡的一个重要因素是替代率。替代率是指职工刚退休时的养老金占退休前工资的比例。按照国家对基本养老保险制度的总体思路，未来基本养老保险的目标替代率确定为58.5%. 替代率较低，退休职工的生活水准低，养老保险基金收支平衡容易维持；替代率较高，退休职工的生活水准就高，养老保险基金收支平衡较难维持，可能出现缺口。所谓缺口，是指当养老保险基金入不敷出时出现的收支之差。
附件1是山东省职工历年平均工资数据；附件2是2009年山东省某企业各年龄段职工的工资分布情况，附件3是养老金的计算办法。请建立数学模型，解决如下问题：
问题一：对未来中国经济发展和工资增长的形势做出你认为是简化、合理的假设，并参考附件1，预测从2011年至2035年的山东省职工的年平均工资。
问题二：根据附件2计算2009年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比。如果把这些比值看作职工缴费指数的参考值，考虑该企业职工自2000年起分别从30岁、40岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），计算各种情况下的养老金替代率。
问题三：假设该企业某职工自 2000年起从30岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），并从退休后一直领取养老金，至75岁死亡。计算养老保险基金的缺口情况，并计算该职工领取养老金到多少岁时，其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡。
问题四：如果既要达到目标替代率，又要维持养老保险基金收支平衡，你认为可以采取什么措施。请给出你的理由。
二、模型假设
1、假设在2010～2035年山东省的经济不会出现较大的震荡，并维持相对稳定。 2、假设在问题2中各范围的工资部分相对稳定。
3、假设企业缴纳的基本养老保险基金与职工个人缴纳的个人账户养老基金按年度按时缴纳，不会出现中断。
4、假设在2011～2035年，山东省养老制度基本不变。
5、假设以2009年为参照水平，各年龄阶段职工工资与社会平均工资之比以及各年龄阶段平均工资与企业平均企业工资之比不变。
6、假设职工在退休时的个人账户存储额不再产生利息。 7、假设养老保险金不存在隐性债务危机。
2
三、符号说明
t 取1,2,,58分别表示对应19782035年
yt 表示按阻滞增长第t年省平均工资
?i 表示第i个年龄段的平均工资与企业的平均工资之比，且i?1,2,,9
?i 表示第i个年龄段的平均工资与社会的平均工资之比，且i?1,2,,9
Rk 表示替代率，且k?1,2,hk 表示退休时的养老金
,6
hk 表示基础养老金
? 表示个人帐户养老金 hkwk 表示退休前的工资 其他参数，文中另作说明
四、模型的建立与求解
4.1问题一
4.1.1 问题的分析
从1978年开始，中国步入改革开放的新时代。在相关政策的实施下，中国的经济处于蓬勃的发展。问题一要求预测2011年到2035年山东省职工的年平均工资，而工资的增长由于经济增长相关。所以，在预测2011年到2035年的职工年平均工资，就必须对经济发展和工资增长的形式作出合理的、简化的假设。
首先，应该对附件一的数据进行分析，画出经济增长的散点图。根据工资增长的趋势，进行函数拟合。然后，在对拟合出的函数进行检验，检验其是否符合经济变化的趋势。如果不符合经济增长的规律，就必须对拟合的函数进行改进，直到拟合出的工资增长函数与经济变化和市场经济的客观规律相符合。那么通过拟合出的函数预测2011年到2035年山东省职工年平均工资就符合市场经济变化趋势。最后，还要用拟合的函数算出1978年到2010年的年平均工资，与已知数据对比，进行拟合度检验。
4.1.2 模型一的分析与建立
由题目附件一给出的山东省1978年到2010年职工年平均工资数据作出如下表格（表一）：
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年份 平均 工资 年份 平均 工资 年份 平均 工资 年份 平均 工资 1978 566 1987 1428 1996 5809 2004
表 一 山东省职工历年平均工资统计表
1979 1980 1981 1982 1983 1984 632 1988 1782 1997 6241 2005 745 1989 1920 1998 6854 2006 22844 755 1900 2150 1999 7656 2007 26404 769 1991 2292 2000 8772 2008 29688 789 1992 2601 2001 10007 2009 985 1993 3149 2000 1985 1110 1994 4338 2002 1986 1313 1995 5145 2003 11374 12567 14332 2010 16614 19228 32074 16614 根据以上表格中的数据利用MATLAB数学软件画出年份与平均工资的散点图：
3.5x 104山东省职工在1978～2010年年平均工资散点图32.5年平均工资21.510.50051015年份20253035 图1 由图1可以观察，职工年平均工资呈指数型增长，因此建立如下拟合函数
y?aebx （1）
4.1.3 模型的求解
将（1）式进行线性化处理，等式两边同时取对数，得
lny?lna?bx
令lny?Y,lna??1,b??2,则该方程变为
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