合肥工业大学2015级研究生《数值分析》试卷(A)参考答案

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合肥工业大学研究生考试试卷

课程名称 数值分析 考试日期 2016年1月13日 学院 全校2015级研究生 姓名 年级 班级 学号 得分

一、填空题 (每空2分,共20分)

A??3?51. 设????48??,则

A?? 12 ,Cond(A)1? 39 . 2. 函数f(x)?(?2x?5)4的差商

f[1,2,3,4,5]? 16 .

3. 设xi(i?0,1,2,3)是互异的点,li(x)(i?0,1,2,3)是Lagrange插值基函数,则

?3x2i(xi?1)li(x)?x(x?1)2.

i?04. 设函数f(x)?cos2x,

p(x)是以?1,0,1,2为节点的f(x)的3次Lagrange插值多项

装3 订式,则余项 f(x)?p2cos2?3(x)?(x?1)x(x?1)(x?2).

3线 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 5. 设函数f(1.39)?5.4706,f(1.40)?5.7978,f(1.41)?6.1653, 用三点数值微分公式计算f?(1.40)的近似值是 34.735 ,用三点数值微分公式计算f??(1.40)的近似值是

403 .

26. 设I??0f(x)dx. 已知f(0)?f(2)?4, 用n?2(即将积分区间[0,2]分成2段)

的复化梯形求积公式计算I的结果与用Simpson求积公式计算I的结果相同,则f(1)? ___2____. 7. 求解初值问题y??f(t,y),y(0)?1(a?t?b)的改进的Euler方法的增量函数

?(t,y,h)?12?f(t,y)?f(t?h,y?hf(t,y)?

8. 解常微分方程初值问题的三阶Runge-Kutta方法的局部截断误差是

O(h4),其中h是步长。二、(本题满分12分) (1) 对下列方程组建立收敛的Gauss-Seidel迭代格式,并说明理由。

??3x1?2x2?10x3?15,??10x4x 1?2?x3?5,??2x1?10x2?7x3?8.(2) 要达到精度??10?5,试估计上述所建立的收敛的Gauss-Seidel迭代格式需要的迭

代步数;取初值(x(0)(0)(0)TT1,x2,x3)?(0,0,0). (注:向量范数都用l?范数)

解 (1) 调整上述方程组的次序,得

???10x1?4x2?x3?5,?2x1?10x2?7x?8, (*) ?3?3x1?2x2?10x3?15.据此建立Gauss–Seidel迭代公式

?x(k?1)?4xk)(k?1101??()2?x3?5?,?x(k?1)(k?1)(k)?2?101??2x1?7x3?8?,

?x(k?1)(k?1)3?101??3x1?2x(k?1)2?15?.因为调整后的方程组的系数矩阵是严格对角占优的,所以据此建立的Gauss–Seidel迭代公式所产生的

序列{x(k)}都收敛。

(2) 因为方程组(*)的系数矩阵

1

??10?41?A???210?7??????000??200??????1000??0100?????0?41??00?7?, ??L?D?U?3210????320????0010????000??所以求解上述方程组的Jacobi迭代格式的迭代矩阵为

?0?25110?B?1??. G??(D?L)U?02251725??13125?83500??0??q?BG??max?0??25?110,0?225?1725,0?13125??83500??1925?0.76用Gauss-Seidel迭代法迭代一次得:x(1)???0.5,0.9,1.47?T,

x(1)?x(0)??max??0.5?0,0.?90,1.??47?0

1.47 ?5k?ln?(1?q)lnq?ln10(1?1925)x(1)?x(0)ln1925?48.56

1.47故需要迭代49次。

三、(本题满分12分) 用下列表中的数据求次数不超过3次的插值多项式

p3(x),使之满足

p3(xi)?f(xi),i?0,1,2,和p?3(x1)?f?(x1).(要求写出差商表) xi 0 1 2 f(xi) 2 3 7 f?(xi) 2 解 根据表中的数据建立差商表

x0?0f(x0)?2 x1?1f(x1)?3f[x0,x1]?1 x1?1f(x1)?3f[x1,x1]?2f[x0,x1,x1]?1 x2?2f(x2)?7f[x1,x2]?4f[x1,x1,x2]?2f[x0,x1,x1,x2]?0.5

则所求插值多项式为

p(x)?f[x0]?f[x0,x1](x?x0)?f[x0,x1,x1](x?x0)(x?x1)?f[x0,x1,x1,x22](x?x0)(x?x1)?2?x?x(x?1)?0.5x(x?1)2?2?0.5x?0.5x3.

四、(本题满分10分) 求拟合下列表中数据的线性最小二乘多项式p(x),取权

?i?1,

i?0,1,2,3,4,并计算总误差Q.

i 0 1 2 3 4

xi 1 2 3 4 5

yi 1.409 1.507 1.738 1.845 2.011 解 根据题意,得

m?3,n?1,?0(x)?1,?1(x)?x,?i?1(i?0,1,2,3)

x0?1,x1?2,x2?3,x3?4;x4?5;y0?1.409,y1?1.507,y2?1.738,y3?1.845,y

4?2.011.444(?0,?0)??1?1?5,(?0,?1)?i?0?1?xi?15,(?0,f)?i?0?1?yi?8.51,i?0444

(?1,?0)??xi?1?15,(?1,?1)?xi?xi?55,(?1,f)?i?0?i?0?xi?yi?27.072.i?0得法方程组

?515??c0??8.51??1555????c???1??27.072?. ??解得c0?1.2394,c1?0.1542. 于是,所求多项式为

p1(x)?1.2394?0.1542x.

总误差为

m22Q???yi?p1(xi)???4?yi??1.2394?0.1542xi???0.0033236.

i?0i?02

五、(本题满分12分) (1) 确定x1,x2,A1,A2,使下列求积公式为Gauss型求积公式

?1?1f(x)dx?A1f(x1)?A2f(x2).

(2) 用(1)中所得的求积公式计算I??12x?1esin3xdx的近似值(保留4位小数)。

解 (1) 因为两点Gauss型求积公式具有3次代数精度,所以上述求积公式若是Gauss型求积公式,

则当

f(x)?1,x,x2,x3时,上述求积公式应准确成立,由此得:

?2?A1?A2,???0?A?x1??13,1x1?A2x2,??2?23?Ax22 解得

?x?13,

11?A2x2,??A1?1,?0?Ax3?Ax3,?1122?A2?1.故所求两点Gauss型求积公式为

?1?1f(x)dx?f??13??f?13?.

(2) 因为f(x)?e2xsin3x,所以用上述两点Gauss公式计算I??1?1e2xsin3xdx的近似

值为:

I?A1f(x1)?A?12f(x2)?f?3??f?13??2.82084.

六、(本题满分12分) (1) 设

f?C2[a,b], x*是方程

f(x)?0的m重根(m?2)。写

出求

x* 的改进的Newton迭代格式;并证明求x*的改进的Newton迭代法至少是平方收敛的。

(2) 用弦截法求方程

x(x?1)2?1?0在0.4附近的实根x*的近似值x3. (取初值

x0?0.4,x1?0.45.)

(1) 证明

(2) 解 弦截法格式为

xxk?1?xk?2k?xk?1?f(xk?1)?f(xf(xk?1)k?2)x

?xk?1?xk?2k?1???x22x2k?1(xk?1k?1(xk?1?1)?1?????xk?2(xk?2?1)?1?????1)?1??,k?2,3,?.取初值x0?0.4,x1?0.45,代入上式计算得:x2?0.466615,x3?0.465555.

七、(本题满分12分) (1) 证明Euler方法是1阶方法;并解释在研究微分方程数值解法的误差时,为

什么可以用局部截断误差代替整体截断误差。

(2) 用改进的Euler方法求解下列初值问题,取步长h?0.5.

??y?(t)??y(t)?1?ty(t)?,0?t?1,?

y(0)?1.(1) 证明 设yn?y(tn),则y?(tn)?f(xn,y(tn)). 将

y(tn?1)在tn处作Taylor展开 yh2(tn?1)?y(tn?h)?y(tn)?h?y?(tn)?y??(?), tn???tn?1

2!由Euler方法得

yn?1?yn?h?f(tn,yn)?y(tn)?h?f(tn,y(tn))?y(tn)?h?y?(tn). 上面两式相减得

y(tn?1)?yh2n?1?y??()?O(h2),

2?于是p?1?2?p?1,即Euler方法具有1阶精度。

(2) 解 记

f(t,y)??y?1?ty?,y0?1,t0?0,h?0.5,

则t1?0.5,t2?1,且改进的Euler格式为

3

?y?yp?yn?h?f(tn,yn),n?1?yn?h?f(t?n,yn),??nn?1

??yhf(t,y?yc?y?h?f(t,yp),?n?1?yn?2?nn)?f(tn?1,yn?1)?, 或

???yi?1?1 (y?y0?1,?p?yc),2??y0?1.于是

??y1?y0?h?f(t0,y0)?1?0.5?1?(1?0?1)?0.5,?

??y1?yh0??[f(t20,y0)?f(t1,y1)]?1?0.5?[1?(1?0?1)?0.5?(1?0.5?0.5)]?0.59375,2??yh?f(t?0.59375??1?0.5?0.59375??0.20874,?2?y1?1,y1)?0.59375?0.5??y2?yf(t?1?h?[f(t21,y1)?2,y2)]????0.59375?0.5?0.208742?0.59375??1?0.5?0.59375??0.20874??1?1????0.338167.

八、(本题满分10分) 设S(x)是函数f(x)在区间[0,2]上满足第一类边界条件的三次样条:

S(x)???S0(x)?2x3?3x?4,0?x?1,

?Sx)?(x?1)3?b(x?1)21(?c(x?1)?3,1?x?2.求f?(0),f?(2).

解 因为S(x)是[0,2]上的三次样条,所以有

??S?0(1?0)?S?1(1?0),? S??0(1?0)?S??1(1?0),即

??3?c,? 12?2b.解得 c?3,b?6;代入S(x),得

S(x)???S0(x)?2x3?3x?4,0?x?1,

?S?(x?1)3?6(x?1)21(x)?3(x?1)?3,1?x?2.因为S(x)是函数f(x)在区间[0,2]上满足第一类边界条件的三次样条,所以

f?(0)?S?(0)?S?0(0)?4 和 f?(2)?S?(2)?S?1(2)?13.

4

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