发布时间 : 星期六 文章工程数学线性代数课后习题答案 - 图文更新完毕开始阅读
a11an1? ? ?ann D1?? ? ?? ? ?? ? ??(?1)n?1an1? ? ?a11? ? ?a1na21? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?a1nann ? ? ?a2na11a21 ?(?1)n?1(?1)n?2an1? ? ?a31? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?a1na2nann? ? ? ? ? ? ?a3nn(n?1)2 ?(?1)1?2?? ? ??(n?2)?(n?1)D?(?1) 同理可证 D2?(?1) D3?(?1)
n(n?1)2D
a11? ? ?an1n(n?1)n(n?1)T? ? ?? ? ?? ? ??(?1)2D?(?1)2Da1n? ? ?ann
n(n?1)2D2?(?1)n(n?1)2(?1)n(n?1)2D?(?1)n(n?1)D?D 7 计算下列各行列式(Dk为k阶行列式) (1)Dn?a1? ? ?1a, 其中对角线上元素都是a 未写出的元
素都是0 解 a0 Dn?0? ? ?010a0? ? ?0000a? ? ?00? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?000? ? ?a0100(按第n行展开) ? ? ?0a0an?1 ?(?1)0? ? ?000a? ? ?0000? ? ?0? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?000? ? ?a1a0?(?1)2n?a? ? ? 0? ? ?a(n?1)?(n?1)0(n?1)?(n?1)?anan?1n?(?1)?(?1)
? ? ?a(n?2)(n?2)anan2
an2(a21)
x (2)Dn?? a? ?aax? ? ?a? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?aa; ? ? ?x 得
? ? ?a? ? ?0? ? ?0? ? ?? ? ?0x?a 解 将第一行乘(1)分别加到其余各行xaaa?xx?a0 Dn?a?x0x?a? ? ?? ? ?? ? ?a?x00
再将各列都加到第一列上
得
x?(n?1)aaa0x?a0Dn?00x?a? ? ?? ? ?? ? ?000? ? ?a? ? ?0? ? ?0? ? ?? ? ?0x?a[x(n1)a](xa)n1
an(a?1)nan?1(a?1)n?1 (3)Dn?1?? ? ?? ? ?aa?111 解 根据第6题结果
? ? ?(a?n)n? ? ?(a?n)n?1; ? ? ?? ? ?? ? ?a?n? ? ?1 有
11a?1n(n?1)a Dn?1?(?1)2 ? ? ? ? ? ?an?1(a?1)n?1an(a?1)n此行列式为范德蒙德行列式 Dn?1?(?1) ?(?1) ?(?1) ?
an? ? ??? ? ? ? ?? ? ?bnn(n?1)2n?1?i?j?1n(n?1)2? ? ?1? ? ?a?n? ? ? ? ? ? ? ? ?(a?n)n?1? ? ?(a?n)n
?[(a?i?1)?(a?j?1)]
n?1?i?j?1n(n?1)2?[?(i?j)]
n?(n?1)?? ? ??12?(?1)?n?1?i?j?1?(i?j)
n?1?i?j?1?(i?j)
(4)D2n?cna1b1c1d1; dnbn 解
an? ? ??? ? ?? ? ? ? ? D2n?cna1b1c1d1(按第1行展开) dnan?1? ? ?? ? ? ?ancn?10a1b1c1d1?? ? ?? ? ?bn?10 dn?100dn0an?1? ? ??? ? ?(?1)2n?1bncn?1cna1b1c1d1?? ? ? ? ?bn?1 dn?10 再按最后一行展开得递推公式 D2nandnD2nni?22
bncnD2n2
即D2n(andnbncn)D2n2
于是 D2n??(aidi?bici)D2而 D2?a1b1?ad?bcc1d11111ni?1
所以 D2n??(aidi?bici) (5) Ddet(aij) 解 aij
|ij|
其中aij|i
j|;
? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?n?1n?2n?3 n?4? ? ?001 Dn?det(aij)?23? ? ?n?1123012101210? ? ?? ? ?? ? ?n?2n?3n?4