发布时间 : 星期日 文章最新洪帆《离散数学基础》(第三版)课后习题答案更新完毕开始阅读
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图3-2
12. 设函数f:Z?Z?Z，g:Z?Z?Z。这里f(x,y)?x?y，g(x,y)?xy。试证明f和g是满射，但是都不是内射。
答：但是f(x,y)?f(y,x)?x?y，因此f不是内射。但是对?z?Z，(x,y)?(y,x)，有f(z,0)?z?0?z，因此f是满射。同理，(x,y)?(y,x)，但是
g(x,y?)g(y?,x)，因此xyg不是内射，但是对?z?Z，g(z,1)?z?1?z，因此g是满射。
13. 设有函数f:R?R和g:R?R，这里f(x)?x2?2和g(x)?x?4。求出f?g和g?f。并说明这些函数是否是内射，满射或双射。 答：f?g?f(g(x))?f(x?4)?(x?4)2?2?x2?8x?14 g?f?g(f(x))?g(x2?2)?x2?2
因为(f?g)(0)?(f?g)(?8)，因此f?g不是内射，又因为(x?4)2?2??2，因此也不是满射。因此不是双射。g?f也不是内射，也不是满射，也不是双射。但是
g(x)?x?4是内射是满射，因此也是双射。f(x)?x2?2不是内射，不是满射，
因此也不是双射。
14. 设有函数f,g,h:R?R，给定为f(x)?x?2，g(x)?x?2，h(x)?3x。试求出g?f，f?g，f?f，f?h，h?g，f?h?g。 答：g?f?g(f(x))?g(x?2)?x?2?2?x f?g?f(g()x)? xx?2?2?，
f?f?f(f(x))?f(x?2)?x?4，f?h?f(h(x))?f(3x)?3x?2 h?g?h(g(x))?h(x?2)?3x?6f?h?g?f(h(g(x)))?f(h(x?2))?f(3x?6)?3x?4
15．设A?{1,2,3,4}，定义一个函数f:A?A，使得f?IA，而且是双射，求
f2,f3,f?1，以及f?f?1。能否找到一个双射g:A?A，使得g?IA，但是g2?IA？
答：定义函数f:A?A，使得f(1)?2，f(2)?3，f(3)?4，f(4)?1，显然f?4,f2(3)?1,f2是双射且f?IA。函数f2:A?A,f2(1)?3,f2(2)(4)?；函数2f3:A?A，f3(1)?f2(f(1))?f2(2)?4，类似地f3(2)?1，f3(3)?2,f3(4)?3。
可定义函数g:A?A，使得g(1)?2，g(2)?1，g(3)?4,g(4)?3。显然g?IA，但g2?IA。
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16. 设f:R?R，f(x)?x3?2，试求f?1。 答：f?1(x)?3x?2
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第7章 格和布尔代数
1、下列各集合对于整除关系|都构成偏序集。在每个集合中对存在有最大下界和最小上界的元素对，找出它们的最大下界和最小上界；指出各集合中是否有最小元素和最大元素。
(1)L?{1,2,3,4,6,12} (2)L?{1,2,3,4,6,8,12,24} (3)L?{1,2,3,,12}
解：(1)偏序集的次序图如下：
4和6的最大下界为1，最小上界为12；
2和3的最大下界为1，最小上界为6； 3和6的最大下界为3，最小上界为6； 该集合的最大元素为12，最小元素为1。 (2)偏序集的次序图如下：
该集合最小元素为1，最大元素为24。任何两个元素的最小
上界为它们的最小公倍数，最大下界为它们的最大公约数。 (3)偏序集的次序图如下：
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该集合没有最大元，有最小元素为1。
2、 试证明在格中若a?b?c，则有
a?b?b? c (a?b)?(b?c)?(a?b)?(b? c证明：(1)因为a?b，所以a?b?b，又因为b?c，所以b?c?b，所以有
a?b?b?c成立。
(2)因为a?b，所以a?b?a，a?b?b；又因为b?c，所以b?c?b，
b?c?c，所以(a?b)?(b?c)?a?b?b，(a?b)?(b?c)?b?c?b，所以有：
(a?b)?(b?c)?(a?b)?(b?c)成立。
3、试证明在格中对于任意元素a,b,c,d有(a?b)?(c?d)?(a?c)?(b?d) 证明：因为a?b?a，c?d?c，所以由格的保号性(a?b)?(c?d)?a?c
因为a?b?b，c?d?d，所以由格的保号性(a?b)?(c?d)?b?d 因此，(a?b)?(c?d)是a?c和b?d的下界，所以： (a?b)?(c?d)?(a?c)?(b?d)
4、在第一题中，哪一个偏序集构成格？
答：第1和第2个偏序集构成了格，因为该集合中任何两个元素都存在最大下界和最小上界。但是第3个集合中的元素则不满足这个条件。
5、下图给出了三个偏序集的次序图，其中哪些构成格？
不是格，因为最下层两个元素没有下确界。
(a)
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