发布时间 : 星期二 文章2018年高考数学总复习(二) 命题及其关系 充分条件与必要条件更新完毕开始阅读
高考达标检测（二） 命题及其关系 充分条件与必要条件
一、选择题
1．(2017·菏泽一中模拟)命题“若a＋b＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是( ) A．若a＋b≠0，则a≠0且b≠0 B．若a＋b≠0，则a≠0或b≠0 C．若a＝0且b＝0，则a＋b≠0 D．若a≠0或b≠0，则a＋b≠0
解析：选D 命题的逆否命题是条件和结论对调且都否定，注意“且”应换成“或”． 2．在命题“若抛物线y＝ax＋bx＋c的开口向下，则{x|ax＋bx＋c<0}≠?”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是( )
A．都真 C．否命题真
B．都假 D．逆否命题真
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
解析：选D 对于原命题：“若抛物线y＝ax＋bx＋c的开口向下，则{x|ax＋bx＋
c<0}≠?”，这是一个真命题，所以其逆否命题也为真命题；但其逆命题：“若{x|ax2＋bx＋c<0}≠?，则抛物线y＝ax＋bx＋c的开口向下”是一个假命题，因为当不等式ax＋bx＋c<0的解集非空时，可以有a>0，即抛物线的开口可以向上，因此否命题也是假命题．故选D.
1π
3．(2016·山西太原一模)“已知命题p：cos α≠，命题q：α≠”，则命题p是
23命题q的( )
A．充分不必要条件 C．充要条件
1
解析：选A 法一：若cos α≠，
2π
则α≠2kπ±(k∈Z)，
3π
则α也必然不等于，故p?q；
3ππ
若α≠，但α＝－时，
331
依然有cos α＝，故q ?/p.
2所以p是q的充分不必要条件． 1π
法二：綈p：cos α＝，綈q：α＝，
23
则有綈p ?/綈q，綈q?綈p，即綈q是綈p的充分不必要条件，根据原命题与逆否
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
2
2
命题的等价性，可得p是q的充分不必要条件．
4．(2017·烟台诊断)若条件p：|x|≤2，条件q：x≤a，且p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是( )
A．[2，＋∞) C．[－2，＋∞)
解析：选A p：|x|≤2?－2≤x≤2. 因为p是q的充分不必要条件， 所以[－2,2]?(－∞，a]，即a≥2.
5．(2017·嘉兴质检)命题“对任意x∈[1,2]，x－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是( )
A．a≥4 C．a≥1
2
2
B．(－∞，2] D．(－∞，－2]
B．a>4 D．a>1
2
解析：选B 若“对任意x∈[1,2]，x－a≤0”为真命题，则有a≥(x)max，其中x∈[1,2]，所以a≥4，命题成立的一个充分不必要条件即寻找[4，＋∞)的一个真子集即可，故选B.
6．(2017·河南质量检测)设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“a⊥b”是“α⊥β”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 D．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B 因为α⊥β，b⊥m，所以b⊥α，又直线a在平面α内，所以a⊥b；但直线a，m不一定相交，所以“a⊥b”是“α⊥β”的必要不充分条件，故选B.
7．如果x，y是实数，那么“x≠y”是“cos x≠cos y”的( ) A．充要条件 C．必要不充分条件
B．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C 设集合A＝{(x，y)|x≠y}，B＝{(x，y)|cos x≠cos y}，则A的补集C＝ {(x，y)|x＝y}，B的补集D＝{(x，y)|cos x＝cos y}，显然C是“x≠y”是 “cos x≠cos y”的必要不充分条件．
8．(2017·南昌调研)下列说法正确的是( )
A．命题“若x＝1，则x＝1”的否命题是“若x＝1，则x≠1” B．“x＝－1”是“x－x－2＝0”的必要不充分条件 C．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题是真命题 D．“tan x＝1”是“x＝
π
”的充分不必要条件 4
2
2
2
D，所以BA.于
解析：选C 由原命题与否命题的关系知，原命题的否命题是“若x≠1，则x≠1”，即A不正确；因为x－x－2＝0，所以x＝－1或x＝2，所以由“x＝－1”能推出“x－x－2＝0”，反之，由“x－x－2＝0”推不出“x＝－1”，所以“x＝－1”是“x－x－2＝0”的充分不必要条件，即B不正确；因为由x＝y 能推得sin x＝sin y，即原命题是真命题，π
所以它的逆否命题是真命题，故C正确；由x＝能推出tan x＝1，但由tan x＝1推不出
4
2
2
2
2
2
x＝，所以“tan x＝1”是“x＝”的必要不充分条件，即D不正确．
二、填空题
9．“若a≤b，则ac≤bc”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________．
解析：其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题． 答案：2
10．(2017·德州一中模拟)下列命题中为真命题的序号是________． 1
①若x≠0，则x＋≥2；
2
2
π4π4
x②命题：若x＝1，则x＝1或x＝－1的逆否命题为：若x≠1且x≠－1，则x≠1； ③“a＝1”是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件；
④命题“若x<－1，则x－2x－3>0”的否命题为“若x≥－1，则x－2x－3≤0”． 1
解析：当x<0时，x＋≤－2，故①错误；根据逆否命题的定义可知，②正确；“a＝
2
2
22
x±1”是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件，故③错误；根据否命题的定义知④正确．故填②④.
答案：②④
???1x11．已知集合A＝?x?<2<8，x∈R
???2
??
?，B＝{x|－1 个充分不必要的条件是x∈A，则实数m的取值范围是________． ???1x解析：A＝?x?<2<8，x∈R ??2? ?? ?＝{x|－1 ∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A， ∴AB，∴m＋1>3，即m>2. 答案：(2，＋∞) 12．设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，则“|q|＝1”是“S4＝2S2”的________条件． 解析：∵等比数列{an}的前n项和为Sn，又S4＝2S2， ∴a1＋a2＋a3＋a4＝2(a1＋a2)，∴a3＋a4＝a1＋a2， ∴q＝1?|q|＝1，∴“|q|＝1”是“S4＝2S2”的充要条件． 答案：充要 三、解答题 13．写出命题“已知a，b∈R，若关于x的不等式x＋ax＋b≤0有非空解集，则a≥4b”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假． 解：(1)逆命题：已知a，b∈R，若a≥4b，则关于x的不等式x＋ax＋b≤0有非空解集，为真命题． (2)否命题：已知a，b∈R，若关于x的不等式x＋ax＋b≤0没有非空解集，则a<4b，为真命题． (3)逆否命题：已知a，b∈R，若a<4b，则关于x的不等式x＋ax＋b≤0没有非空解集，为真命题． 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ??3?3?2 14．已知集合A＝?y?y＝x－x＋1，x∈?，2? 2?4??? “x∈B”的充分条件，求实数m的取值范围． 3?3?272 解：y＝x－x＋1＝?x－?＋， 2?4?167?3?∵x∈?，2?，∴≤y≤2， 16?4? ???7 ∴A＝?y?≤y≤2 ???16 2 ? ?，B＝{x|x＋m2≥1}．若“x∈A”是? ???. ?? 2 由x＋m≥1，得x≥1－m， ∴B＝{x|x≥1－m}． ∵“x∈A”是“x∈B”的充分条件， ∴A?B，∴1－m≤ 22 7， 16 33 解得m≥或m≤－， 44 3??3??故实数m的取值范围是?－∞，－?∪?，＋∞?. 4??4??