发布时间 : 星期日 文章竞赛数学 Microsoft Word 文档12更新完毕开始阅读
未来学校九年级数学竞赛专项练习解析
1. 已知实数a?b，且满足(a?1)2?3?3(a?1)，3(b?1)?3?(b?1)2.则b（ ）.
（A）23 （B）?23 （C）?2 （D）?13 答：选（B）
∵ a、b是关于x的方程
?x?1?2?3(x?1)?3?0
的两个根，整理此方程，得
x2?5x?1?0，
∵ ??25?4?0， ∴ a?b??5，ab?1. 故a、b均为负数. 因此
ba的值为?aab?a?b??2ab??23 babaa2?b2b?a??ab?ab??ab??abababab2．函数y?ax与y?x?a的图像恰有两个公共点，则实数a的取值范围是【 D 】
2A、a＞1 B、－1＜a＜1 C、a≥1或a≤－1 D、a＞1或a＜－1 解：根据题意，y=a|x|的图在x轴上过原点是折线，关于y轴对称；
分两种情况讨论，① a＞0时，过第一、二象限，y=x+a斜率为1，a＞0时，过第一、二、三象限，若使其图象恰有两个公共点，必有a＞1；
②a＜0时，y=a|x|过第三、四象限；而y=x+a过第二、三、四象限；若使其图象恰有两个公共点，必有a＜-1；
3．一条抛物线y?ax2?bx?c的顶点为（4，?11），且与x轴的两个交点的横坐标为一正一负，则a、b、c中为正数的（ A ）. （A）只有a （B）只有b （C）只有c （D）只有a和b 解：由顶点为（4，?11），抛物线交x轴于两点，知a>0. 设抛物线与x轴的两个交点的横坐标为x1，x2，即为方程
ax2?bx?c?0
的两个根.
c由题设x1x2?0，知?0，所以c?0.
ab?0，知b<0. 根据对称轴x=4，即有?2a故知结论（A）是正确的.
4．如图所示，在△ABC中，DE∥AB∥FG，且FG到DE、AB的距离之比为1:2. 若△ABC的面积为32，△CDE的面积为2，则△CFG的面积S等于 （ ）.
（A）6 （B）8 （C）10 （D）12
答：选（B）
由DE∥AB∥FG知，△CDE∽△CAB，△CDE∽△CFG，
（第4题图） 所以
S?CDECD21???， CAS?CAB324FD1FD1?，所以?， 又由题设知
FA2AD31131FD?AD??AC?AC，
3344故FD?DC，于是
S?CDE?1?1????，S?CFG?8. S?CFG?2?42因此，结论（B）是正确的.
5．如图，在□ABCD中，AC?6，BD?8，P是对角线BD上的任意一点，过点P作EF∥AC ，与□ABCD的两条边分别交于点E，F．设BP?x，EF?y，则下面能大致反映y与x之间关系的图像为（ ）
第5题图 53?235?273?337?3??6．观察下列各式：3，，
5?335?3C. 73?437?4D. A. B.
93?539?5?，请你猜想出一个一般性的结论___________________
93?439?4= （n≥2，且为正整数） 分析：根据题意，观察各式可得其规律，用n将规律表示出来即可．（n≥2，且n为正整数） 解答：解：根据题意，观察各式可得： 第①式中，5=2+3，3-2=1； 第②式中，7=3+4，4-3=1； 第③式中，9=5+4，5-4=1；… 规律可表示为： = （n≥2，且n为正整数）， 故答案为 = （n≥2，且n为正整数）． 7．甲乙两个布袋中各有12个大小一样的小球，且都是红、白、蓝各4个。从甲袋中拿出尽可能少且至少两个颜色一样的球放入乙袋中，再从乙袋中拿出尽可能少的球放入甲袋中，使甲袋中每种颜色的球不少于3个，这时甲袋中有_______________个球，乙袋中有__________个球（拿出时不能看）
解：从甲袋拿出最少要4个，才可以保证至少有两个颜色一样的球．
不妨设是白球拿了两个，红蓝各拿了一个，现在乙袋中有5红，5蓝，6白，一袋中有3红3蓝2白；再从乙袋中拿球保证至少有一个白球就可以保证一袋每种颜色球都不少于3个，而乙袋5红，5蓝，6白，保证至少拿到一个白球，最少要拿11个，即刚好是5红，5蓝，1白．这样最后甲袋有12-4+11=19球，乙袋12+4-11=5球．
8． 如图，在△ABC中，AB=AC，AD=AE，?BAD?60?，则?EDC? _________ （度）. 答：30°
解：设?CAD?2?，由AB=AC知
1(180??60??2?)?60???， 2?ADB?180???B?60??60???， 由AD=AE知，?ADE?90???，
所以?EDC?180???ADE??ADB?30?
9． 如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC (BC>AD)，?D?90?，BC=CD=12, ?ABE?45?，若AE=10，则CE的长为 . 答：4或6
解：延长DA至M，使BM⊥BE. 过B作BG⊥AM，G为垂足.易知四边形BCDG为正方形， 所以BC=BG. 又?CBE??GBM， ∴ Rt△BEC≌Rt△BMG. ∴ BM=BE，?ABE??ABM?45?， （第9题图） ∴△ABE≌△ABM，AM=AE=10.
设CE=x，则AG=10?x，AD=12?(10?x)?2?x，DE=12?x. ?B?在Rt△ADE中，AE2?AD2?DE2， ∴ 100?(x?2)2?(12?x)2， 即x2?10x?24?0， 解之，得x1?4，x2?6. 故CE的长为4或6.
10．已知x?a2?6a?23，其中实数－4≤a≤10，则x?5?4x?1?x?10?6x?1的值为_______________ 解： + = = =|
+ -2|+|
+
-3|
∵x= = ，-4≤a≤10， ∴ ≤x≤3 ，2＜ ＜3 ∴原式= -2+3- =1．
11．通过实验研究，专家们发现：初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持平稳的状态，随后开始分散. 学生注意力指标数y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示（y越大表示学生注意力越集中）. 当0?x?10时，图象是抛物线的一部分，当10?x?20和20?x?40时，图象是线段.
（1）当0?x?10时，求注意力指标数y与时间x的函数关系式；
（2）一道数学竞赛题需要讲解24分钟. 问老师能否经过适当安排，使学生在听这道题时，注意力的指标数都不低于36. 解：（1）当0?x?10时，设抛物线的函数关系式为y?ax2?bx?c，由于它的图象经过点（0，20），（5，39），（10，48），所以
?c?20,??25a?5b?c?39, ?100a?10b?c?48.?（第11（A）题图） 124解得，a??，b?，c?20.
55124y??x2?x?20所以
550?x?10. …………………（5分）
7（2）当20?x?40时，y??x?76.
5，
124x?20， 所以，当0?x?10时，令y=36，得36??x2?55解得x=4，x?20（舍去）；
7当20?x?40时，令 y=36，得36??x?76，解得
52004x??28.
7744因为28?4?24?24，所以，老师可以经过适当的安排，在学生注意力指标数不低于36
77时，讲授完这道竞赛题.
12．如图（1），由直角三角形边角关系，可将三角形面积公式变形得到
1S?ABC?bcsinA……①
2即三角形的面积等于两边之长与夹角正弦值之积的一半 如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，∠ACD＝?，∠DCB＝? ∵S?ABC?S?ACD?S?BCD，由公式①得到 111AC?BC?sin(???)?AC?CD?sin??BC?CD?sin? 222即AC?BC?sin(???)?AC?CD?sin??BC?CD?sin?……②
你能利用直角三角形关系及等式基本性质，消去②中的AC、BC、CD吗？ 若不能，说明理由；若能，写出解决过程。并利用结论求出sin75°的值
CbADc图（1）BAC??D图（2）B
解：由题消去AC、BC、CD，
得到sin（α+β）=sinα?cosβ+cosα?sinβ，
给AC?BC?sin（α+β）=AC?CD?sinα+BC?CD?sinβ， 两边同除以AC?BC得， sin（α+β）=
?sinα+
?sinβ，
∵ =cosβ， =cosα，
∴sin（α+β）=sinα?cosβ+cosα?sinβ． 13．（8分）如图，已知直线l1的解析式为y?3x?6，直线l1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，直线l2经过B、C两点，点C的坐标为（8，0），又已知点P在x轴上从点A向点C移动，点Q在直线l2从点C向点B移动。点P、Q同时出发，且移动的速度都为每秒1个单位长度，设移动时间为t秒（1?t?10）。 （1）求直线l2的解析式。
（2）设△PCQ的面积为S，请求出S关于t的函数关系式。 （3）试探究：当t为何值时，△PCQ为等腰三角形？