发布时间 : 星期三 文章高等代数（下）课外习题 第九章 欧氏空间更新完毕开始阅读
第九章 欧氏空间
一、判断题
1、?1,?2,?,?n是n维欧氏空间的一组基，矩阵A?aij矩阵。( )
2、设V是一个欧氏空间，?,??V，并且????n?n，其中aij?(?i,?j)，则A是正定
?，则???与???正交。( )
3、设V是一个欧氏空间，?,??V,并且(?,?)?0，则?,?线性无关。( ) 4、n维Euclid空间中任意一个正交向量组都能扩充成一组正交基 （ ） 5、若T 是正交变换，则T保持向量的内积不变 （ ） 6、度量矩阵是正定的 （ ） 7、正交矩阵的行列式等于1 （ ）
8、欧氏空间V上的线性变换?是对称变换的充要条件为?关于标准正交基的矩阵为实对称矩阵。 （ ）
9、设A与B都是n阶正交矩阵，则AB也是正交矩阵。
10、在欧氏空间V中，若向量?与自身正交，则??0.( ) 11、两两正交的向量构成的向量组叫正交向量组.( ) 12、若矩阵A为正交矩阵，则A??A.( )
13、设?是n维欧氏空间V的正交变换，则?在V的任意基下的矩阵是正交矩阵.( ) 14、设V1,V2是n维欧氏空间V的两个正交子空间，且V?V1?V2，则V?V1?V2。( ) 15、对称矩阵A的任意两个特征向量都正交。( )
?1
二、填空题
1、在欧氏空间R中，向量??(1,0,?1)，??(0,1,0)，那么(?,?)＝_________，
3?＝_________．
2、两个有限维欧氏空间同构的充要条件是__________________．
?13、已知A是一个正交矩阵，那么A＝_________，A＝_________．
2??1?10???4、已知三维欧式空间V中有一组基?1,?2,?3，其度量矩阵为A???120?，则向量
?003?????2?1?3?2??3的长度为 。
5、已知A为n阶正交阵，且|A|<0，则|A|= .
6、欧氏空间V上的线性变换?是对称变换的充要条件为?关于标准正交基的矩阵为 。
7、实对称矩阵的属于不同特征根的特征向量是彼此 的。 8、设X??1,1,0,0?,Y??1,0,0,1?,则X与Y的夹角?? . 9、若 A为正交矩阵，则A?1A? ； 10、在n维欧氏空间V中,
三、选择题
1、若线性变换?与?是（ ），则?的象与核都是? 的不变子空间。
??n级矩阵A是V的某个基的度量矩阵的充要条件是 .
A.互逆的 B. 可交换的 C. 不等的 D. 不可换的
2、设V是n维欧氏空间 ，那么V中的元素具有如下性质（ ）
??①若??,?????,??????； ②若
③若
?????；
??,???1??3?1； ④若(???,???)?0，?|?|?|?|。
3、欧氏空间R中的标准正交基是（ ）
1??11??1,0,,0,???;??;?0,1,0?11112??22?①?2； ②；(,,0),(,?,0),(0,0,1)
2222?111??111??,,?;?,?,?????;?0,0,0?33?③?333??3； ④?1,?1,1?;??1,1,1?;?1,1,?1?。
4、设?是欧氏空间V的线性变换，那么?是正交变换的充分必要非充分条件是（ ）
①?保持非零向量的夹角； ②?保持内积； ③?保持向量的长度； ④?把标准正交基映射为标准正交基。 5、A为n阶正交方阵，则
A. A.为可逆矩阵 B.秩 ?A??1 C. A?0 D.A?1 6、若两个n阶方阵A,B是正交矩阵,则AB是 ( )
A.对称矩阵 .B.相似矩阵 C.正交矩阵 D. AB?BA
7、下列说法正确的是( ).
A. 实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量必正交; B. 实对称矩阵A的属于相同特征值的特征向量必不正交; C. 实对称矩阵A的所有特征向量都正交; D. 以上都不对.
8、n(n?1)维欧氏空间的标准正交基( ).
A.不存在 B.存在不唯一; C.存在且唯一 ;D.不一定存在.
?a11??a219、若A?????a?n1TTa12a22?an2?a1n???a2n?是实正交阵，则下列说法不正确的是（ ）。
?????ann??(A)AA?AA?E (B)A?1
(C)a11?a12???a1n?1 (D)a11a21?a12a22???a1na2n?0 10、 若A是实正交阵，则下列说法不正确的是（ ）。 (A)AA?AA?E (B)A?1
(C)A??A (D)A的列向量组为单位正交向量组.
?1TT222四、计算题
1、把向量组?1?(2,?1,0)，?2?(2,0,1)扩充成R中的一组标准正交基. 2、设?1?(1,1,0),3?2?(1,0,1),?(0?,1)3,1是R3的一个基，用正交化方法求R3的一组标准正交基。
3、 设?1,?2,?3为V的基，且线性变换A在此基下的矩阵为
?111???A??111?
?111???（1）求A的特征值与特征向量；
（2）A是否可以对角化？如果可以，求正交矩阵T使得TAT为对角形． 4、已知R3的一组向量?1=(1,0,0),?2=(1,1,0) ,?3=(1,1,1)。
（1）证明?1,?2 ,?3构成R3的一个基；
（2）对其施行施密特正交化方法求出R3的一个标准正交基。
?12225、 已知二次型f(x1,x2,x3)?2x1?3x2?3x3?2ax2x3(a?0)通过正交变换化为标准形22，求a的值． f?y12?2y2?5y3
五、证明题
1、设A，B为同级正交矩阵，且A??B，证明：A?B?0． 2、设A为半正定矩阵，且A?0，证明：A?E?0．
3、设?1,?2,??,?n是欧氏空间V的一个基，?是V中的向量， 证明 若(?,?j)?0,j?1,2,?,n，则 ?=0
4、设V是一欧氏空间,??0是V中一固定向量,试证明: (1) W?{x|(x,?)?0,x?V}是V的一个子空间; (2) dimW?n?1.
5、设?是n维欧氏空间V的一个单位向量，定义 ?(?)=????,???
试证明：（1）?为线性变换；
（2）?为正交变换；
（3）存在V的一个标准正交基，使得?关于这个基的矩阵具有形状
??1??0 ????0?0?0??1?0? 。 ????0?1??6、?1,?2,?3是三维欧氏空间V的一个标准正交基，试证：
1.
1?2?1?2?2??3?31?2??2?1??2?2?3?
31?3???1?2?2?2?3?3?1?也是V的一个标准正交基。
7、?1,?2,??n,?都是一个欧氏空间的向量,证明:如果?与每一个?i,i?1,2,?,n正交,那么
??0。
?(?1,?1)(?1,?2)??(?2,?1)(?2,?2)8、设?1,?2,?,?n是n维欧氏空间V中的一组向量，而???????(?,?)(?,?)m2?m1证明：当且仅当??0时?1,?2?,?m线性无关。
?(?1,?m)???(?2,?m)? ?????(?m,?m)??