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通信原理作业解20110331
第1章 绪论
1-1 设英文字母E出现的概率PE=0.105，X出现的概率为PX＝0.002，试求E和X的信息量各为多少？
解： PE?0.105
IE??log2PE??log20.105?3.25bit PX?0.002
IX??log2PX??log20.002?8.97bit
1-2 某信源的符号集由A、B、C、D、E、F组成，设每个符号独立出现，其概率分别为1/4、1/4、1/16、1/8、1/16、1/4，试求该信息源输出符号的平均信息量I。
,B?1/4P,?解： PA?1/4PC1/P1D6?,P1E/?8,P116 ,F/?I?PAlog21PA?PBlog21/PB?PClog21/PC?PDlog21/PD?PElog21/PE?PFlog21/PF111111?log4?log4?log16?log8?log16?log4441681643?2bit/符号8
1-3 设一数字传输系统传送二进制信号，码元速率RB2=2400B，试求该系统的信息速率Rb2=？若该系统改为传送十六进制信号，码元速率不变，则此时的系统信息速率为多少？ 解：由题 RB2?2400B
（1）二进制时 Rb2=RB2?2400bps
（2）16进制时 Rb16=kRB16?4?2400?9600bps
l-8 在强干扰环境下，某电台在5分钟内共接收到正确信息量为355Mb，假定系统信息速率为1200kb/s。
（l）试问系统误信率Peb=？
（2）若具体指出系统所传数字信号为四进制信号，Peb值是否改变？为什么？
1
（3）若假定信号为四进制信号，系统传输速率为1200kB，5分钟内共接收到正确信息量为710 Mb，则Peb＝？ 解：?Rb?1200kbps
⑴Peb1200?10?5?60??355?10??361200?103?5?60?1.39?10?2
⑵ 因为Peb仅由信息量决定，所以当系统所传输的数字信号为四进制时，Peb值不变。 ⑶RB4?1200kB
Rb4?log24?RB4?2400Kbps
则：Peb2400?10?5?60??710?10??362400?103?5?607.2?108?7.1?108??1.39?10?2 87.2?10
第2章 随机信号与噪声
2-1 已知随机变量 x 的概率密度函数为
?1?,?a?x?a f(x)??2a?其他?0,试求其均值和方差。 解： a(t)?E[x]??a???xf(x)dx??x?a11adx?xdx?0 ??a2a2a?2(t)?D[x]?E[x?a(t)]2??x2f(x)dx?0???1113a1??xdx??x?a2?a2a2a3?a3a2
2-3 某随机过程X(t)??(??)co?s0t，其中?和
?是具有均值为0、方差为
??2???2?2的互不相关的随机变量，试求：
（1）X(t)的均值aX(t)。
（2）X(t)的自相关函数RX(t1,t2)。
2
（3）X(t)是否平稳？
解：（1）aX(t)?E[X(t)]?E[(???)cos?0t]?E[(???)]cos?0t?0
（2）
RX(t1,t2)?E[X(t1)X(t2)]?E[(???)cos?0t1(???)cos?0t2]?E[(???)2]cos?0t1cos?0t21?E[?2??2?2??]?[cos?0(t1?t2)?cos?0(t1?t2)]
212?[?????2?0]?[cos?0(t1?t2)?cos?0(t1?t2)]21?[2?2?0]?[cos?0(t1?t2)?cos?0?]?2cos?0(t1?t2)?2cos?0?]2（3）X(t)非平稳
2-4已知X(t)和Y(t)是统计独立的平稳随机过程，且它们的均值分别为aX和aY，自相关函数分别为RX(?)和RY(?)。试求：
（1） （2）
Z(t)?X(t)?Y(t)的自相关函数。
Z(t)?X(t)?Y(t)的自相关函数。
解：（1）之积
R（?E[Z(t)Z(t??)]?E[X(t)Y(t)?X(t??)Y(t??)]Zt,?）?E[X(t)X(t??)]?E[Y(t)Y(t??)]?RX(?)RY(?)（2）之和
R（?E[Z(t)Z(t??)]?E{[X(t)?Y(t)]?[X(t??)?Y(t??)]}Zt,?）?E{X(t)X(t??)?X(t)Y(t??)?Y(t)X(t??)?Y(t)Y(t??)},平稳、独立?RX(?)?aYaX?aXaY?RY(?)?RX(?)?2aXaY?RY(?)
2-8 已知随机过程X(t)?A0?A式中，A0、A1是常数；?是在（0，2π）1cos(?1t??)，上均匀分布的随机变量。
（1）求X(t)的自相关函数。
（2）求X(t)的平均功率、直流功率、交流功率、功率谱密度。 解：（1）
3
RX(t1,t2)?E[X(t1)X(t2)]?E{[A0?A1cos(?1t1??)][A0?A1cos(?1t2??)]}?E[A02?A12cos(?1t1??)cos(?1t2??)?A0A1cos(?1t2??)?A0A1cos(?1t2??)]A12?A?E{cos?1(t1?t2)?2?]?cos?1(t1?t2)}?0?02A122?A0?cos?1?,??t1?t2220A12 （2）平均功率 RX(0)?A?
2202直流功率 直接由X(t)的直流分量A0获得?A0。或
R(?)?limRt,?)X1t(2t1?t2??t1?t2??limEX1[t(X2)t?()E]Xt(E)][t1[2X)]}
()]
?E[A?(1t1??)?]E[A?os1(t2??0?A1cos0?A1c2?A0?A0?A0A12交流功率 RX(0)?R(?)?。或直接由X(t)的交分量A1cos(?1t??)获得。
2功率谱
A12A12cos???[?(???1)??(???1)] R(?)?A?1?PX(?)?2??(?)?2220
2-9 设随机过程Y(t)?X1cos?0t-X2sin?0t，若X1与X2是彼此独立且均值为0、方差为?的高斯随机变量，试求：
（1）E[Y(t)]、E[Y(t)]。
（2）Y(t)的一维概率密度函数f(y)。 解：（1）
22
E[Y(t)]?E[X1cos?0t?X2sin?0t]?cos?0t?E[X1]?sin?0t?E[X2]?0
2E[Y2(t)]?E[X12cos2?0t?X2sin2?0t?2X1X2cos?0tsin?0t]2?cos2?0t?E[X12]?sin2?0t?E[X2]?2cos?0tsin?0t?E[X1X2]?cos?0t???sin?0t???0??其中： E[X1X2]＝E[X1]E[X1]＝0（2）由：高斯变量的线性组合仍为高斯变量。得：
22222
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