发布时间 : 星期二 文章2019-2020学年高中数学第二章数列2.1数列的概念与简单表示法限时规范训练新人教A版必修5更新完毕开始阅读
2.1 数列的概念与简单表示法
【基础练习】
1．下列说法中，正确的是( ) A．数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}
B．数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列 C．数列?
?n＋1?1
?的第k项是1＋
k?n?
*
D．数列0,2,4,6,8，…可表示为an＝2n(n∈N) 【答案】C
【解析】A错，{1,3,5,7}是集合；B错，是两个不同的数列，顺序不同；C正确，ak＝1*
＝1＋；D错，an＝2(n－1)(n∈N)．
k＋1kk??0，n为奇数，
2．已知n∈N＋，给出4个表达式：①an＝?
??1，n为偶数；
1＋－1
②an＝
2
n；③an＝
nπ?1＋cos nπ?；④an＝?sin ?.其中能作为数列：2?2?
0,1,0,1,0,1,0,1，…的通项公式的是( )
A．①②③ C．②③④ 【答案】A
【解析】检验知①②③都是所给数列的通项公式．
3．如下图，下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为( )
B．①②④ D．①③④
A．an＝3
n－1
B．an＝3 D．an＝3
n－1
nC．an＝3－2n 【答案】A
n＋2n－3
【解析】这四个图形中，着色三角形的个数依次为1,3,9,27，都是3的指数幂，猜想数列的通项公式为an＝3
n－1
.
11*
4．数列{an}中，a1＝，a2＝，an＋an＋2＋an·an＋2＝1(n∈N)，则a5＋a6等于( )
24
- 1 -
3A． 47C． 12【答案】A
5B． 614D． 15
11
【解析】把n＝1代入an＋an＋2＋an·an＋2＝1可得a1＋a3＋a1·a3＝1，即＋a3＋a3＝1，解
22111311
得a3＝；同理把n＝2代入可得＋a4＋a4＝1，解得a4＝；同理把n＝3代入可得＋a5＋a5
3445331331113
＝1，解得a5＝；同理把n＝4代入可得＋a6＋a6＝1，解得a6＝，故a5＋a6＝＋＝.故选
2554244A．
5．函数f(x)满足f(1)＝1，f(n＋1)＝f(n)＋3(n∈N)，则f(n)是( ) A．递增数列 C．常数列 【答案】A
【解析】∵f(n＋1)－f(n)＝3(n∈N)，∴f(2)＞f(1)，f(3)＞f(2)，f(4)＞f(3)，…，
*
*
B．递减数列 D．不能确定
f(n＋1)＞f(n)，…，∴f(n)是递增数列．
1
6．已知数列{an}满足a1＝，an－1－an＝(anan－1)n(n≥2)，则该数列的通项公式an＝
2________.
【答案】
2
n＋n＋2
2
1?1111?1
【解析】∵数列{an}满足a1＝，an－1－an＝(anan－1)n，∴－＝n.∴＝?－?＋
2anan－1an?anan－1?
2
?1－1?＋…＋?1－1?＋1＝n＋(n－1)＋…＋2＋2＝nn＋1＋1＝n＋n＋2.∴a＝?an－1an－2??a2a1?an22????1
2
. n＋n＋2
2
7．写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： 1357(1)，，，； 24816
1357
(2)1＋2，1－2，1＋2，1－2；
2468(3)7,77,777,7 777； (4)0，2，0，2.
1357
【解析】(1)∵，，，，
24816
- 2 -
观察每一项的分子是连续的奇数，分母是2， 2n－1*
∴an＝n，n∈N.
2
1357
(2)∵1＋2，1－2，1＋2，1－2，
2468
观察每一项的组成是1加或减一个分数的形式， 分数的分子是连续的奇数，分母是连续偶数的平方， ∴an＝1＋(－1)
n＋1
n·2n－1*
2，n∈N. 2n(3)∵7,77,777,7 777，
7777
∴该数列可化为×(10－1)，×(100－1)，×(1 000－1)，×(10 000－1)．
99997n*
∴an＝(10－1)，n∈N.
9(4)∵0，2，0，2， ∴该数列可化为(1－1)·∴an＝[1＋(－1)]·
n2222，(1＋1)·，(1－1)·，(1＋1)·. 2222
2*，n∈N. 2
8．已知数列{an}满足a1＝4，an＋1－an＝3，试写出这个数列的前6项并猜想该数列的一个通项公式．
【解析】由已知，得a1＝4，an＋1＝an＋3， ∴a2＝a1＋3＝4＋3＝7，
a3＝a2＋3＝7＋3＝10， a4＝a3＋3＝10＋3＝13， a5＝a4＋3＝13＋3＝16， a6＝a5＋3＝16＋3＝19.
由以上各项猜测数列的通项公式是an＝3n＋1.
【能力提升】
579
9．数列{an}：1，－，，－，…的一个通项公式是( )
81524A．an＝(－1)C．an＝(－1)
n＋1
2n－1
(n∈N＋) n2＋n2n－1
(n∈N＋) n2＋2nB．an＝(－1)D．an＝(－1)
n－1
2n－1
(n∈N＋) n2＋3n2n＋1
(n∈N＋) n2＋2nn＋1n－1
【答案】D
- 3 -
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【解析】观察数列各项，可写成，－，，－.故选D．
1×32×43×54×6
10．(2019年河南驻马店期末)已知数列{an}的前n项和Sn＝n－9n，第k项满足5 A．6 C．8 【答案】C 【解析】∵Sn＝n－9n，∴n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－10.a1＝S1＝－8适合上式，∴an＝2n－10(n∈N)．∴5<2k－10<8，得7.5 11．设an＝－3n＋15n－18，则数列{an}中的最大项的值是( ) 16 A． 3C．0 【答案】C 152 【解析】由题意得，an＝－3n＋15n－18，则对称轴方程n＝－ 2×－3 2 2 * * 2 2 B．7 D．9 13B． 3D．5 5 ＝，又n取整2 数，所以当n＝2或3时，an取最大值为a3＝a2＝－3×2＋15×2－18＝0.故选C． 12．(2019年江苏常州模拟)在一个数列中，如果对任意n∈N，都有anan＋1an＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积．已知数列{an}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋a3＋…＋a12＝________. 【答案】28 【解析】依题意得数列{an}是周期为3的数列，且a1＝1，a2＝2，a3＝4，因此a1＋a2＋a3 ＋…＋a12＝4(a1＋a2＋a3)＝4×(1＋2＋4)＝28. 13．已知数列{an}的通项公式是an＝ 1 . n＋5n＋4 2 * (1)你能判断该数列是递增的，还是递减的吗？ (2)该数列中有负数项吗？ 【解析】(1)对任意n∈N，∵an＋1－an＝ －2n＋3＋5n＋1＋4] * n＋1 2 11 －2＝ ＋5n＋1＋4n＋5n＋4 [n＋1 2 n2＋5n＋4 ＜0， ∴数列{an}为递减数列． (2)令an＜0，即 2 1 ＜0， n＋5n＋4 2 ∴n＋5n＋4＜0，解得－4＜n＜－1， 而n∈N，故数列{an}没有负数项． - 4 - *