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对称问题
【知识要点】
1.点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题.
设P（x0，y0），对称中心为A（a，b），则P关于A的对称点为P′（2a－x0，2b－y0）. 2.点关于直线成轴对称问题
由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”.利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程组，就可求出对顶点的坐标.一般情形如下：
设点P（x0，y0）关于直线y=kx+b的对称点为P′（x′，y′），则有
y??y0·k=－1， ?x?x0可求出x′、y′.
x??x0y??y0=k·+b，
22特殊地，点P（x0，y0）关于直线x=a的对称点为P′（2a－x0，y0）；点P（x0，y0）关于直线y=b的对称点为P′（x0，2b－y0）.
3.曲线关于点、曲线关于直线的中心或轴对称问题，一般是转化为点的中心对称或轴对称（这里既可选特殊点，也可选任意点实施转化）.一般结论如下：
（1）曲线f（x，y）=0关于已知点A（a，b）的对称曲线的方程是f（2a－x，2b－y）=0. （2）曲线f（x，y）=0关于直线y=kx+b的对称曲线的求法： 设曲线f（x，y）=0上任意一点为P（x0，y0），P点关于直线y=kx+b的对称点为P′（y，x），则由（2）知，P与P′的坐标满足
y?y0·k=－1， x?x0x?xy0?y=k·0+b，
22代入已知曲线f（x，y）=0，应有f（x0，y0）=0.利用坐标代换法就可求出曲线f（x，y）=0关于直线y=kx+b的对称曲线方程.
4.两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论： （1）点（x，y）关于x轴的对称点为（x，－y）； （2）点（x，y）关于y轴的对称点为（－x，y）； （3）点（x，y）关于原点的对称点为（－x，－y）； （4）点（x，y）关于直线x－y=0的对称点为（y，x）； （5）点（x，y）关于直线x+y=0的对称点为（－y，－x）.
从中解出x0、y0，
【典型例题】
【例1】 求直线a：2x+y－4=0关于直线l：3x+4y－1=0对称的直线b的方程.
2x+y－4=0，
解得a与l的交点E（3，－2），E点也在b上. 解：由 3x+4y－1=0， 方法一：设直线b的斜率为k，又知直线a的斜率为－2，直线l的斜率为－
3. 433?(?2)k?(?)44.解得k=－2.代入点斜式得直线b的方程为 则=33111?(?)?(?2)1?k(?)44?2（x－3），即2x+11y+16=0. 11方法二：设直线b上的动点P（x，y），直线a上的点Q（x0，4－2x0），且P、Q两点关于直线l：3x+4y－1=0对称，则有
|3x?4y?1||3x0?4(4?2x0)?1|=，
55y－（－2）=－
y?(4?2x0)4=. 消去x0，得2x+11y+16=0或2x+y－4=0（舍）.
x?x03【例2】 光线从点A（－3，4）发出，经过x轴反射，再经过y轴反射，光线经过点 B（－2，
6），求射入y轴后的反射线的方程.
剖析：由物理中光学知识知，入射线和反射线关于法线对称.
解：∵A（－3，4）关于x轴的对称点A1（－3，－4）在经x轴反射的光线上， 同样A1（－3，－4）关于y轴的对称点A2（3，－4）在经过射入y轴的反射线上，
6?4=－2. 故所求直线方程为y－6=－2（x+2）， 即2x+y－2=0.
?2?3【例3】 已知点M（3，5），在直线l：x－2y+2=0和y轴上各找一点P和Q，使△MPQ的周长最小. 剖析：如下图，作点M关于直线l的对称点M1，再作点M关于y轴的对称点M2，连结MM1、MM2，连线MM1、MM2与l及y轴交于P与Q两点，由轴对称及平面几何知识，可知这样得到的△MPQ的周长最小.
∴kA2B=
yM2QPOMlM1x
解：由点M（3，5）及直线l，可求得点M关于l的对称点M1（5，1）.同样容易求得点M关于y轴的对称点M2（－3，5）.
据M1及M2两点可得到直线M1M2的方程为x+2y－7=0.
7）. 2x+2y－7=0， 59得交点P（，）. 解方程组 59724x－2y+2=0， 故点P（，）、Q（0，）即为所求.
242深化拓展
令x=0，得到M1M2与y轴的交点Q（0，
.已知点A（1，3）、B（5，2），在x轴上找一点P，使得|PA|+|PB|最小，则最小值为____________，P点的坐标为____________.
答案：41 （
17，0） 5【巩固练习】
1.已知点M（a，b）与N关于x轴对称，点P与点N关于y轴对称，点Q与点P关于直线x+y=0对称，则点Q的坐标为
A.（a，b） B.（b，a）C.（－a，－b） D.（－b，－a） 解析：N（a，－b），P（－a，－b），则Q（b，a）． 答案：B
2.曲线y2=4x关于直线x=2对称的曲线方程是
A.y2=8－4x B.y2=4x－8 C.y2=16－4x D.y2=4x－16
解析：设曲线y2=4x关于直线x=2对称的曲线为C，在曲线C上任取一点P（x，y），则P（x，y）关于直线x=2的对称点为Q（4－x，y）.因为Q（4－x，y）在曲线y2=4x上， 所以y2=4（4－x），即y2=16－4x.
答案：C
3.已知直线l1：x+my+5=0和直线l2：x+ny+p=0，则l1、l2关于y轴对称的充要条件是
15p1= B.p=－5 C.m=－n且p=－5 D.=－且p=－5
nmnm解析：直线l1关于y轴对称的直线方程为（－x）+my+5=0，即x－my－5=0，与l2比较， ∴m=－n且p=－5.反之亦验证成立. 答案：C
4.点A（4，5）关于直线l的对称点为B（－2，7），则l的方程为____________. 解析：对称轴是以两对称点为端点的线段的中垂线. 答案：3x－y+3=0
5.设直线x+4y－5=0的倾斜角为θ，则它关于直线y－3=0对称的直线的倾斜角是____________. 解析：数形结合. 答案：π－θ
6.已知圆C与圆（x－1）2+y2=1关于直线y=－x对称，则圆C的方程为 A.（x+1）2+y2=1 B.x2+y2=1
C.x2+（y+1）2=1 D.x2+（y－1）2=1 解析：由M（x，y）关于y=－x的对称点为（－y，－x）， 即得x2+（y+1）2=1. 答案：C
7.与直线x+2y－1=0关于点（1，－1）对称的直线方程为 A.2x－y－5=0 B.x+2y－3=0 C.x+2y+3=0 D.2x－y－1=0
解析：将x+2y－1=0中的x、y分别代以2－x，－2－y，得（2－x）+2（－2－y）－1=0，即x+2y+3=0.故选C.
答案：C
A.
8.两直线y=
3x和x=1关于直线l对称，直线l的方程是____________. 3解析：l上的点为到两直线y=
|x?3y|3x与x=1距离相等的点的集合，即=｜x－1｜，化简得x+3y－
231?(3)2=0或3x－3y－2=0.
答案：x+3y－2=0或3x－3y－2=0
9.直线2x－y－4=0上有一点P，它与两定点A（4，－1）、B（3，4）的距离之差最大，则P点的坐标是
____________.
解析：易知A（4，－1）、B（3，4）在直线l：2x－y－4=0的两侧.作A关于直线l的对称点A1（0，1），当A1、B、P共线时距离之差最大.
答案：（5，6）
10.已知△ABC的一个顶点A（－1，－4），∠B、∠C的平分线所在直线的方程分别为l1：y+1=0，l2：x+y+1=0，求边BC所在直线的方程.
解：设点A（－1，－4）关于直线y+1=0的对称点为A′（x1，y1），则x1=－1，y1=2×（－1）－（－4）=2，即A′（－1，2）.
在直线BC上，再设点A（－1，－4）关于l2：x+y+1=0的对称点为A″（x2，y2），则有
y2?4×（－1）=－1， x2?1x2?1y2?4++1=0. 22 x2=3， 解得 y=0，
2
即A″（3，0）也在直线BC上，由直线方程的两点式得方程.
11.求函数y=x2?9+x2?8x?41的最小值.
解：因为y=(x?0)2?(0?3)2+(x?4)2?(0?5)2，
所以函数y是x轴上的点P（x，0）与两定点A（0，3）、B（4，3）距离之和. y的最小值就是|PA|+|PB|的最小值.
由平面几何知识可知，若A关于x轴的对称点为A ′（0，－3）， 则|PA|+|PB|的最小值等于|A′B|，即(4?0)2?(5?3)2=45. 所以ymin=45.
12.直线y=2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若A、B坐标分别为A（－4，2）、B（3，1），求点C的坐标，并判断△ABC的形状.
解：由题意，点A关于直线y=2x的对称点A′在BC所在直线上，设A′点坐标为（x1，y1），则x1、y1满足
y?2x?1=，即x+2y－3=0为边BC所在直线的3?10?2y1?21=－，即x1=－2y1. x1?42 ①
y1?2x?4=2·1，即2x1－y1－10=0. ② 22解①②两式组成的方程组，得 x1=4，
y?1x?3y1=－2. ∴BC所在直线方程为=， 即3x+y－10=0.
?2?14?3 3x+y－10=0， x=2，
解方程组 得
y=2x， y=4. ∴所求C点坐标为（2，4）.
由题意|AB|2=50，|AC|2=40，|BC|2=10， ∴△ABC为直角三角形. 13. 已知两点A（2，3）、B（4，1），直线l：x+2y－2=0，在直线l上求一点P. （1）使|PA|+|PB|最小；（2）使|PA|－|PB|最大. 解：（1）可判断A、B在直线l的同侧，设A点关于l的对称点A1的坐标为（x1，y1）.
x?2y?3 1+2·1－2=0，
22则有 y1?31·（－）=－1. x1?222， 5解得 9y1=－.
5 x1=－
由两点式求得直线A1B的方程为y=
7356（x－4）+1，直线A1B与l的交点可求得为P（，－）. 112525由平面几何知识可知|PA|+|PB|最小.
（2）由两点式求得直线AB的方程为y－1=－（x－4），即x+y－5=0.