发布时间 : 星期五 文章（完整word版）解直角三角形思想方法中考题型更新完毕开始阅读
思想方法 中考题型
一、方程思想
根据题意设适当的未知数，从已知和未知中寻求等量关系，构造出方程或方程组，从而使问题获解．
例1 如图1，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C的俯角为30°，测得岸边点D的俯角为45°，又知河宽CD为50米．现需从山顶A到河对岸点C拉一条笔直的缆绳AC，求缆绳AC的长（答案可带根号）．
解：过A点作AB⊥CD交CD的延长线于点B，设AB＝x 在Rt△ABC中，因为∠ACB＝∠CAE＝30°，所以AC＝2ABC＝2x，BC=3AB=3x
在Rt△ABD中，因为∠ADB＝∠EAD＝45°，所以DB＝AB＝x 因为CD＝50，所以
解得x＝25（1+3）。答：缆绳AC的长为501?3米．
说明 先得出边角之间的关系，再构造方程求解，这是直角三角形的边角关系应用的常见方法，应值得注意．
图2
图1
二、数形结合思想
将数量和图形巧妙结合来寻找解题思路
例2 如图2，A、B、C表示建筑在一座比较险峻的名山上的三个缆车站的位置，AB、BC表示连接三个缆车站的钢缆。已知A、B、C所处位置的海拔高度分别为124m、400m、1100m，如图建立直角坐标系，即A(a，124)、B(b，400)、C(c，
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1100)，若直线AB的解析式为y＝2 x＋4，直线BC与水平线BC1的交角为45°．
⑴分别求出A、B、C三个缆车站所在位置的坐标；
⑵求缆车从B站出发到达C站单向运行的距离(精确到1m)．
A(240，124)、B(792，400)、C(2192，1100)；（2）7002≈990（米）． 三、转化思想
抽象转化为具体，复杂转化为简单、未知转化为已知，通过变换迅速而合理的寻找和选择问题解决的途径和方法．
例3 如图3，学校旗杆附近有一斜坡．小明准备测量学校旗杆AB的高度，他发现当斜坡正对着太阳时，旗杆AB的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，此时小明测得水平地面上的影长BC＝20米，斜坡坡面上的影长CD＝8米，太阳光线AD与水平地面成26°角，斜坡CD与水平地面成30°的角．求旗杆AB的高度（精确到1米）．（tan26°=0.43）
解： 延长AD、BC交于点E，过点D作DF⊥CE于F．则依据题意可知， ∠E＝ °，∠DCE＝ °。
在Rt△CFD中，得DF＝4，CF＝43≈6.928， 在Rt△DFE中， 在Rt△ABE中，
答：旗杆AB的高度约为 ．
A
北 M 30° 60° ??北 75° B D
B
C
F
E
N 图4 C A
图3
四、建模思想
所谓建模思想就是认真分析题意，将实际问题抽象、转化为数学问题，建立数学模型，再通过对数学模型的探索达到解决问题的目的．
例4 如图4，MN表示一段高速公路的设计路线图．在点M测得点N在它的南偏东30°的方向．测得另一点A在它的南偏东60°的方向；取MN上另一点B，在点B测得点A在它的南偏东75°的方向．以点A为圆心，500m为半径的圆形区域为某居民区．已知MB=400m，通过计算回答：如果不改变方向，高速公路是否会穿过居民区？
=30°解： 过点A作AC⊥MN于点C．依题意，得 ∠AMC=60°－30°，∠
ABC=75°=45°－30°．设AC为xm，
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测量类
例5、如图，小明在江南岸选定建筑物A，并在江北岸的B处观察，此时，视线与江岸BE所成的夹角是30°，小强沿江岸BE向东走了500m，到C处，再观察A，此时视线CA与江岸所成的夹角∠ACE＝60°。根据上述信息，你能测出江宽AD吗？若能，写出求解过程(结果可保留根号)；若不能，请说明理由。 解：过A作AD⊥BE，垂足为D，设AD=x， 在Rt△ABD中，BD= 在Rt△ACD中，CD=
又因为BC=50，所以列方程，得： 解得：x=253 练6、（2011安徽，19，10分）如图，某高速公路建设中需要确定隧道AB的长度．已知在离地面1500m高度C处的飞机上，测量人员测得正前方A、B两点处的俯角分别为60°和45°．求隧道AB的长．（参考数据：3=1.73） 635m．
A 图1 B C E ，这时测角器中的?EO?P??45°，那么小山的高度CD约为B，F，D在同一直线上）（ ）Ａ．68米
Ｂ．70米
Ｃ．121米
Ｄ．123米
（注：数据3?1.732，2?1.414供计算时选用）
例8、（2011山东德州20,10分）某兴趣小组用高为1.2米的仪器测量建筑物CD的高度．如示意图，由距CD一定距离的A处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为?，在A和C之间选一点B，由B处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为?．测得A，B之间的距离为4米，tan??1.6，tan??1.2，试求建筑物CD的高度． 解：设建筑物CD与EF的延长线交于点G，DG=x米． …………1分 在Rt△DGF中,由tan??DGxx，得tan??． ∴GF? …2分 GFGFtan?在Rt△DGE中，tan??
xDGx，即tan??． ∴GE? …3分
tan?GEGED
∴EF?xx? ． ………5分 tan?tan?G C
练7、一次数学活动中，小明利用自己制作的测角器测量小山的高度CD．已知她的眼睛与地面的距离为1.6米，小明在B处测量时，测角器中的?AOP?60°（量角器零度线AC和铅垂线OP的夹角，如图）；然后她向小山走50米到达点F处（点
?
F ? B
E A
2
∴4?xx． ………6分 ?1.21.6解方程得：x=19.2． ………8分 ∴ CD?DG?GC?19.2?1.2?20.4． 答：建筑物高为20.4米． ………10分
练9、如图，小明发现在教学楼走廊上有一拖把以15o的倾斜角斜靠在栏杆上，严重影响了同学们的行走安全．他自觉地将拖把挪动位置，使其的倾斜角为75o，如果拖把的总长为1.80m，则小明拓宽了行路通道 m．1.28
（结果保留三个有效数字，参考数据：sin15?0.26，cos15?0.97）
15°75 °
oo3南偏西36.9°方向，求此时海检船所在B处与城市P的距离？（参考数据：sin36.9°≈，
531212tan36.9°≈，sin67.5°≈，tan67.5°≈）
4135解：过点P作PC⊥AB，垂足为C，设PC=x海里．
在Rt△APC中，∵tan∠A= ，∴AC= 在Rt△PCB中，∵tan∠B= ，∴BC=
5x4x ∵AC＋BC=AB=21×5，∴??21?5，解得．
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答：海检船所在B处与城市P的距离为100海里．
练12、一艘轮船自西向东航行，在A处测得东偏北21.3°方向有一座小岛C，继续向东航行60海里到达B处，测得小岛C此时在轮船的东偏北63.5°方向上．之后，轮船继续向东航行多少海里，距离小岛C最近？ （参考数据：sin21.3°≈
925北M，tan21.3°≈， sin63.5°≈
5北2910，tan63.5°≈2）
60oA30oB
C东航行类
东
AB练10、如图，某渔船上的渔民在A处观测到灯塔M在北偏东60o方向处，这艘渔船以每小时28海里的速度向正东方向航行，半小时后到达B处，在B处观测到灯塔M在北偏东30方向处，问B处与灯塔M的距离是多少海里？14
例11、（2011山东济宁，18， 5分）日本福岛出现核电站事故后，我国国家海洋局
高度关注事态发展，紧急调集海上巡逻的海检船，在相关海域进行现场检测与海水采样，针对核泄漏在极端情况下对海洋的影响及时开展分析评估．上午9时,海检船位于A处，观测到某港口城市P位于海检船的北偏西67.5°，海检船以21海里/时的速度向正北方向行驶，下午2时海检船到达B处，这时观测到城市P位于海检船的
o
分析：只要过C作AB的垂线段CD就构造了直角三角形，然后再根据题目所给
的条件进行计算，从而求出BD的距离，那就是最短距离
练13、问题可变为：如果小岛C周围 海里内有暗礁，轮船继续向东航行有触礁危险。
练14、再变为：如果轮船行驶时，小岛C周围 米以内会受到噪音的影响．那么轮船以 海里/时的速度继续向东航行时，岛C受噪音影响的时间为多少?
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筑坝类
练15、（2011甘肃兰州）某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度i=1∶3，坝外斜坡的坡度i=1∶1，则两个坡角的和为 。【答案】75
练16、一座建于若干年前的水库大坝的背水面的整个坡面是长为90米、宽为5米的矩形. 横断面如图所示。现需将其整修并进行美化，方案如下：① 将背水坡AB的坡度由1∶0.75改为1∶3；② 用一组与背水坡面长边垂直的平行线将背水坡面分成9块相同的矩形区域，依次相间地 种草与栽花 ⑴ 求整修后背水坡面的面积；
⑵ 如果栽花的成本是每平方米25元，种草的成本是每平方米20元，那么种植花草至少需要多少元？ ．．
解题关键：搞清坡度的意义，将梯形问题转化为直角三角形问题 720米16000元
辅助练习：
练17、如图，某边防巡逻队在一个海滨浴场岸边的A点处发现海中的B点有人求救，便立即派三名救生员前去营救．1号救生员从A点直接跳入海中；2号救生员沿岸边(岸边看成是直线)向前跑到C点，再跳入海中； 3号救生员沿岸边向前跑3 0 0米到离B点最近的D点，再跳人海中．救生员在岸上跑的速度都是6米／秒，在水中游泳的速度都是2米／秒．若∠BAD=4 5°，∠BCD=6 0°，三名救生员同时从A点出发，请说明谁先到达营救地点B． (参考数据2≈1.4，3≈1.7) 2号
练18、（2011湖北武汉）如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°．公路PQ上A处距离O点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影
16
2
响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为
A．12秒． B．16秒． C．20秒． D．24秒．【答案】B
练19、（2011内蒙古乌兰察布，16，4分）某厂家新开发的一种电动车如图，它的大灯A射出的光线AB,AC 与地面MN 所夹的锐角分别为8?和10?，大灯A与地面离地面的距离为1m则该车大灯照亮地面的宽度BC是 m .（不考虑其它因素）【答案】1.4
第19题图
练20、(2011浙江绍兴，20，8分)为倡导“地摊生活”，常选择以自行车作为代步工具，如图1所示是一辆自行车的实物图，车架档AC与CD的长分别为45cm，60cm，且它们相互垂直，座杆CE的长为20cm，点A,C,E在同一条直线上，且?CAB?75?，如图2. （1）求车架档AD的长（75 ）（2）求车座点E到车架档AB的距离（63）
ECD （精确到1cm，参考数据：sin75??0.959，cos75??0.2588，tan75??3.7321）
BFA第20题图2 4