发布时间 : 星期一 文章2020高考数学一轮复习第七章立体几何7-7-1利用空间向量证明空间中的位置关系课时提升作业理更新完毕开始阅读
2019年
9.(2016·石家庄模拟)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC为等腰直角三角形, ∠BAC=90°,且AB=AA1,D,E,F分别为B1A,C1C,BC的中点. (1)求证:DE∥平面ABC. (2)求证:B1F⊥平面AEF.
【证明】以A为原点,AB,AC,AA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,令AB=AA1=4,则A(0,0,0),E(0,4,2),F(2,2,0), B1(4,0,4),D(2,0,2), A1(0,0,4). (1)=(-2,4,0),
平面ABC的法向量为=(0,0,4), 因为·=0,DE?平面ABC, 所以DE∥平面ABC.
(2)=(-2,2,-4),=(2,-2,-2),
·=(-2)×2+2×(-2)+(-4)×(-2)=0, 所以⊥,B1F⊥EF,
·=(-2)×2+2×2+(-4)×0=0, 所以⊥,所以B1F⊥AF.
因为AF∩EF=F,所以B1F⊥平面AEF.
【加固训练】如图,在多面体ABC-A1B1C1中,四边形A1ABB1形,AB=AC,BC=AB,B1C1BC,二面角A1-AB-C是直二面角.
求证:(1)A1B1⊥平面AA1C. (2)AB1∥平面A1C1C.
【证明】因为二面角A1-AB-C是直二面角,四边形A1ABB1为正方形,
是正方2019年
所以AA1⊥平面BAC. 又因为AB=AC,BC=AB, 所以∠CAB=90°,即CA⊥AB, 所以AB,AC,AA1两两互相垂直. 建立如图所示的空间直角坐标系,
设AB=2,则A(0,0,0),B1(0,2,2),A1(0,0,2),C(2,0,0),C1(1,1,2). (1)=(0,2,0),=(0,0,-2),=(2,0,0), 设平面AA1C的一个法向量n=(x,y,z), 则即即
取y=1,则n=(0,1,0). 所以=2n,即∥n. 所以A1B1⊥平面AA1C. (2)易知=(0,2,2),=(1,1,0),
=(2,0,-2),
设平面A1C1C的一个法向量m=(x1,y1,z1), 则
即
令x1=1,则y1=-1,z1=1, 即m=(1,-1,1).
所以·m=0×1+2×(-1)+2×1=0, 所以⊥m.
2019年
又AB1?平面A1C1C, 所以AB1∥平面A1C1C.
10.(2016·福州模拟)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1C1C是边长为4的正方形.平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5. (1)求证:AA1⊥平面ABC.
(2)证明在线段BC1上存在点D,使得AD⊥A1B,并求的值. 【解析】(1)因为AA1C1C为正方形,所以AA1⊥AC.
因为平面ABC⊥平面AA1C1C,且AA1垂直于这两个平面的交线AC.所以AA1⊥平面ABC. (2)由(1)知AA1⊥AB,AA1⊥AC.
由题知AB=3,BC=5,AC=4,所以AB⊥AC. 如图,以A为原点建立空间直角坐标系Axyz, 则B(0,3,0),A1(0,0,4),B1(0,3,4),C1(4,0,4). 设D(x,y,z)是线段BC1上的一点, 且=λ,λ∈[0,1].
所以(x,y-3,z)=λ(4,-3,4). 解得x=4λ,y=3-3λ,z=4λ, 所以=(4λ,3-3λ,4λ). 由·=0,即9-25λ=0,解得λ=.
因为∈[0,1],所以在线段BC1上存在点D,使得AD⊥A1B,此时,=λ=.
(20分钟 40分)
1.(5分)已知=(1,5,-2),=(3,1,z),若⊥,=(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,则实数x,y,z分别为 ( ) A.,-,4 B.,-,4
2019年
C.,-2,4 D.4,,-15
【解题提示】利用数量积与垂直的关系、线面垂直的性质定理即可得出. 【解析】选B.因为⊥,所以·=3+5-2z=0,解得z=4. 所以=(3,1,4). 因为BP⊥平面ABC, 所以⊥,⊥. 所以
化为
解得
所以x=,y=-,z=4.
2.(5分)(2016·太原模拟)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN=,则MN与平面BB1C1C的位置关系是 ( ) A.斜交 B.平行 C.垂直 D.不能确定
【解析】选B.分别以C1B1,C1D1,C1C所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系. 因为A1M=AN=a, 所以M, N, 所以=.
又C1(0,0,0),D1(0, a,0),所以=(0, a,0),