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第二十三讲 以几何为主的综合题
一、选择题
1．如图23－1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，分别以A、C为圆心，以
AC的长为半径作圆，将Rt△ABC截去两个扇形，则剩余(阴影)部分的面积为( )． 2
图23－1
A．(24?C．(24?25π)cm2 4 B．
25πcm2 4525 D．(24?π)cm2 π)cm2
462．(2009广州)如图23－2，在□ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，若BG?42，则△CEF的周长为( )．
A．8 C．10 二、填空题
3．(2009深圳)如图23－3，矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图放置，则矩形ABCD的周长为______．
图23－2
B．9.5 D．11.5
图23－3
4．(2009深圳)如图23－4，图①是长方形纸带，∠DEF＝20°，将纸带沿EF折叠成图②，再沿BF折叠成图③，则图③中的∠CFE的度数是_______．
① ② ③
图23－4
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三、解答题
5．已知：如图23－5，AB是半圆O的直径，C是半圆O上一点，CD⊥AB于D，CE切⊙O于C，AE⊥CE，AE的延长线与BC的延长线交于F点，若CD?35,cosF?EF的长．
2，求3
图23－5
6．如图23－6，在□ABCD中，P是CD边上的一点，AP与BP分别平分∠DAB和∠CBA．
图23－6
(1)判断△APB是什么三角形，证明你的结论； (2)比较DP与PC的大小；
(3)画出以AB为直径的⊙O，交AD于点E，连结BE与AP交于点F，若AD＝5cm，AP＝8cm，求证△AEF∽△APB，并求tan∠AFE的值．
7．(2009烟台)如图23－7，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，且CD＝2AD，tan∠ABC＝2，过点D作DE∥AB，交∠BCD的平分线于点E，连结BE．
图23－7
(1)求证：BC＝CD；
(2)将△BCE绕点C顺时针旋转90°得到△DCG，连结EG． 求证：CD垂直平分EG；
(3)延长BE交CD于点P．求证：P是CD的中点．
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8．(2009武汉)如图23－8①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边上一点，连结BO交AD于F，OE⊥OB交BC边于点E．
图23－8
(1)求证：△ABF∽△COE； (2)当O为AC边中点，(3)当O为AC边中点，
ACOF的值； ?2时，如图23－8②，求
ABOEACOF的值． ?n时，请直接写出
ABOE地址：北京市西城区西环广场T2-23层 电话：010-58302509
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参考答案
第二十三讲 以几何为主的综合题
1．A． 2．A． 3．85. 4．120°．
5．提示：由于CD与∠F不在同一个三角形中，所以需要寻找与∠F相等的角，或与CD相等的线段，使分散的条件集中在同一个三角形中，创造可解的直角三角形，使问题得到解决．简解：连结AC、OC．
∵EG是⊙O的切线，∴OC⊥EG．
∵EC⊥AE，∴AF∥OC．可得△BOC∽△BAF．
BCBO1??．∴FC＝BC． ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°． BFBA2∴AF＝AB，∠FAC＝∠BAC．∴CE⊥AF于E，CD⊥AB于D， ??CE?CD?35. 在Rt△FEC中，∵cosF＝
2FE2，∴＝． 3FC3设FE＝2x，FC＝3x，则EC?5x?35. ∴x＝3，FE＝2x＝6． 6．解：(1)见答图23－1．∵AD∥BC，∴∠DAB＋∠CBA＝180°．
答图23－1
又∵AP、BP分别平分∠DAB、∠CBA， ∴∠PAB＋∠PBA＝90°．
∴∠APB＝90°．∴△APB为直角三角形． (2)∵DC∥AB，∴∠BAP＝∠DPA．
∵∠DAP＝∠PAB，∴∠DAP＝∠DPA．∴DA＝DP． 同理证得CP＝CB．∴DP＝PC．
(3)∵AD＝5cm，AP＝8cm，∴AB＝DC＝DP＋PC＝2AD＝10．
∵AB是⊙O的直径，∠APB＝90°，?PB?AB2?AP2?102?82?6. ∵点E在⊙O上，∴∠AEB＝90°＝∠APB． ∵∠EAF＝∠PAB，∴△AEF∽△APB． ∴∠AFE＝∠ABP．?tan?AFE?tan?ABP?7．证明：(1)延长DE交BC于F．(见答图23－2)
AP84??? PB63
答图23－2
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∵AD∥BC，AB∥DF，∴AD＝BF，∠ABC＝∠DFC． 在Rt△DCF中，∵tan∠DFC＝tan∠ABC＝2，
CD?2，即CD＝2CF． CF∵CD＝2AD＝2BF，∴BF＝CF． ∴BC＝BF＋CF＝2BF＝CD． (2)∵CE平分∠BCD，∴∠BCE＝∠DCE．由(1)知BC＝CD，∵CE＝CE，∴△BCE≌△DCE．∴BE＝DE．
由图形旋转的性质知CE＝CG，BE＝DG．∴DE＝DG． ∴C、D都在EG的垂直平分线上．∴CD垂直平分EG． (3)连结BD．由(2)可得∠PBC＝∠FDC．
∵BC＝DC，∠BCP＝∠DCF＝90°，∴△BCP≌△DCF． ∴CP＝CF． ?111BC＝CD，∴CP＝CD，即P为CD的中点． 2228．解(1)∵AD⊥BC，∴∠DAC＋∠C＝90°．
∵∠BAC＝90°，∴∠BAF＝∠C．
∵OE ⊥OB，∴∠BOA＋∠COE＝90°．
∵∠BOA＋∠ABF＝90°，∴∠ABF＝∠COE． ∴△ABF∽△COE．
(2)作OG⊥AC，交AD延长线于G(见答图23－3)．
∵CF＝
答图23－3
∵AC＝2AB，O是AC边的中点，∴AB＝OC＝OA．
BFAB??1．∴BF＝OE． OEOC∵∠BAD＋∠DAC＝90°，∠DAB＋∠ABD＝90°，∴∠DAC＝∠ABD． 又∠BAC＝∠AOG＝90°，AB＝OA． ∴△ABC≌△OAG，∴OG＝AC＝2AB．
∵OG⊥OA，∴AB∥OG．∴△ABF∽△GOF． 由(1)有△ABF∽△COE．??(3)
OFOGOFOFOG?,???2. BFABOEBFABOF?n. OE地址：北京市西城区西环广场T2-23层 电话：010-58302509