发布时间 : 星期二 文章张军《西方经济学学习精要与习题集》（第3章 需求理论）更新完毕开始阅读
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效用最大化的一阶条件为：
????p1??0 ?x1x1??2??p2??0 ?x2x2?L?u0?2x1?4x2?0 ?????p1u0?p2u0h有上述三式可得：x1h??，x????。此即为两种商品的希克斯需224p?p4p?p??2??2????1???1?22求函数。
（3）由希克斯需求函数可得支出函数为：
p1p2u02e?px?px?
4?4p1?p2?h11h22（4）将马歇尔需求函数代入直接效用函数就可以得到间接效用函数：
mv?2x1m?4x2?2?4p1?p2?mp1p2
21．一个消费者具有支出函数e?p1,p2,u??它合理化了这个人的需求行为。
解：假设消费者的收入为y。由支出函数e??p?p2v??1?p1p2up1p2可以推得： p1?p2up1p2。找出一个直接效用函数u?x1,x2?，p1?p2??p1?p2?e????p1p2??11??y????y ??p1p2??v?p2???y?p1?p1??根据罗伊恒等式有：x1?? ① ?vp1?p2?y?p1???yp同理可得：x2??2? ②
p1?p2从①式和②式可以得到：
p2?p1x1 x2985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解
再将
p2?p1
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x1代回①式有： x2?p2?x1??px2p1?p2??1?y?y?x1x1yx1x2 将
p2?p1x1代回②式有： x2?p1?x2??px1p1?p2??2?y?y?x2x2yx1x2 联合
p2?p1x1和p1?p2?x2yx1x2便可以得到：
p1?y?x1?x2?x1
则：p2?p1x1?x2y?x1?x2?x2。
将价格指数代入间接效用函数v???11???y当中便可以得到直接效用函数： ?p1p2??x1?x1x2x2?x1x2u?x1,x2?????yy???y????x1?x2?
2
22．消费者效用函数U?x,y??xy2，px?2，py?1，m?60。当y的价格变为2时，求x的希克斯替代效应、斯勒茨基替代效用及收入效用。
011?2，p0解：令pxy?1，px?2，py?2。
当价格为px?2，py?1时，消费者的问题为：
maxxy2x,y
s.. 2tx?y?60用拉格朗日法求得：x0?10，y0?40，此时的效用为：U0?16000。 当y的价格上升至2时，为保持原效用U0的最小支出为：
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min2x?2ys.. txy2?16000
解得：xh?15.87，yh?31.75。
1价格为p1x?2，py?2时，消费者最大化其效用时有：
maxxy2x,y
s.. 2tx?2y?60解得：x1?10，y1?20。
当y的价格上升至2时，为保持原消费束（x?10，y?40），消费者的收入必须增加为2?10?2?40?100。
当消费者的收入为100，px?2，py?2时，问题为：
maxxy2x,y
s.. 2tx?2y?100解得：xs?16.67，ys?33.33。
故消费者对x商品的希克斯替代效应为：xh?x0?5.87； 消费者对x商品的希克斯收入效应为：x1?xh??5.87； 消费者对x商品的斯拉茨基替代效应为：xs?x0?6.67； 消费者对x商品的斯拉茨基收入效应为：x1?xs??6.67。
23．设间接效用函数为v?p1,p2,?,pn,y?，马歇尔需求函数是xi?p1,?,pn,y?，y为收入，pi?i?1,?,n?为产品空间第i个商品的价格。不用包络定理证明罗伊恒等式（Roy’s
indentity）。
**证明：根据定义有：v?p1,?,pn,y??u?x1?p1,?,pn,y?,?,xn?p1,?,pn,y??。
对pi求导可得：
?v?p1,?,pn,y??pi???u?x1,?,xn????u?x1,?,xn?x??j ????xj?pij?1n由一阶条件可知：结合起来，有：
?v?p1,?,pn,y??pi?xj??*pj??j?1,?,n?，此处????v?p1,?,pn,y??y。
**n?u?x1,?,xn?x*?x*?x???v?p1,?,pn,y?njjj* ??????pj?pj??xj?pij?1?pi?y?pij?1j?1n985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解
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另外，个人最优选择也必须满足预算约束?pjx*j?y。该式两边对pi求导：
?pj?1?x*j?p1,?,pn,y?j?pi?xi*?p1,?,pn,y??0
所以有罗伊恒等式：
?v?p1,?,pn,y??pi???v?p1,?,pn,y??yxi*?p1,?,pn,y??0
24．设某产品的反需求函数为p?a?bq，其中a与b均严格为正数，现设政府决定征收税率为t的销售税，于是产品价格提高为p?1?t?，证明消费者剩余的损失大于政府征税所得的收益。
解：设价格为p时，消费者的需求量为q1，由p?a?bq1，得：q1?a?p。 b又设价格为p?1?t?时，消费者的需求量为q2，由p?a?bq2得：q2?则消费者剩余损失为：
q1q2CS????a?bq?dq?pq1?????a?bq?dq?p?1?t?q2?????0???0?a??1?t?pb。
??q1q2?a?bq?dq?p?1?t?q2?pq1
b?q? ??aq?q2?1??1?t?pq2?pq12?q2?b??b?? ??aq1?q12???aq2?q22???1?t?pq2?pq12??2??政府征税而提高的收益为：?1?t?pq2?pq1。 消费者剩余亏损－政府征税而提高的收益为：
b2??b2???aq1?q1???aq2?q2???1?t?pq2?pq1????1?t?pq2?pq1??2??2??b??b????aq1?q12???aq2?q22?2??2????a?a?p?b2btp2?2?t?2b?0。
2a??1?t?p?b?a?p?a????b??a??1?t?p????????2?b?b2?b?2
tp2?2?t?由于b、t、p?0，所以
因此，消费者剩余损失总是超过政府征税而提高的收益。
25．假设有n种商品，商品i在总支出中的比重为si，即si?pixi，其中，pi表示第i种m985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解
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商品的价格，xi表示该商品的购买量，m为消费者的收入水平。?i为需求的收入弹性，即
nm?xi?i??。证明Engel加总：?si?i?1。
xi?mi?1证明：对于预算约束条件?pixi?m，在等式两边同时取微分，得到：
i?1?pdx??xdpiiii?1i?1nni?dm
由于价格是恒定的量，所以dpi?0。 这样就可以得到：?pidxi?dm，亦即?i?1n?xi?pi?1。 ?mi?1n分子分母同时乘以mxi，可以得到如下形式：??证?si?i?1。
i?1n??xim??pixi???i?1??mxi??mn???1，根据题目的定义得?
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