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第2章 刚体定轴转动
一、选择题
1(B)，2(B)，3(A)，4(D)，5(C)，6(C)，7(C)，8(C)，9(D)，10(C) 二、填空题
(1). v ≈15.2 m /s，n2＝500 rev /min (2). 62.5 1.67ｓ (3). g / l g / (2l) (4). 5.0 N·m (5). 4.0 rad/s (6). 0.25 kg·m2 (7).
1Ma 2l11(8). ?mgl参考解：M＝?dM＝???gm/l?rdr??mgl
022?J?mr??(9).
21J?mR2
(10).
??3gsin?/l
三、计算题
1. 有一半径为R的圆形平板平放在水平桌面上，平板与水平桌面的摩擦系数为μ，若平板绕通过其中心且垂直板面的固定轴以角速度ω0开始旋转，它将在旋转几圈后停止？（已知圆形平板的转动惯量J?1mR2，其中m为圆形平板的质量） 2解：在r处的宽度为dr 的环带面积上摩擦力矩为
mg?2?r?rdr 2?RR2总摩擦力矩 M??dM??mgR
03 dM??故平板角加速度 ? =M /J
设停止前转数为n，则转角 ? = 2?n
2由 ?0?2???4?Mn/J
2J?02?3R?0/16π?g 可得 n?4?M
2. 如图所示，一个质量为m的物体与绕在定滑轮上的绳子相联，绳子质量可以忽略，它与定滑轮之间无滑动．假设定滑轮质量为M、半径为R，其转动
R Mm12惯量为MR，滑轮轴光滑．试求该物体由静止开始下落的过程中，下落速
2度与时间的关系．
解：根据牛顿运动定律和转动定律列方程
1
对物体： mg－T ＝ma ① 对滑轮： TR = J? ② 运动学关系： a＝R? ③ 将①、②、③式联立得 a＝mg / (m＋∵ v0＝0，
1M) 2 RT ? MT amg
1∴ v＝at＝mgt / (m＋M)
2
3. 为求一半径R＝50 cm的飞轮对于通过其中心且与盘面垂直的固定转轴的转动惯量，在飞轮上绕以细绳，绳末端悬一质量m1＝8 kg的重锤．让重锤从高2 m处由静止落下，测得下落时间t1＝16 s．再用另一质量m2=4 kg的重锤做同样测量，测得下落时间t2＝25 s．假定摩擦力矩是一个常量，求飞轮的转动惯量．
解：根据牛顿运动定律和转动定律，对飞轮和重物列方程，得 TR－Mf＝Ja / R ① mg－T＝ma ② h＝
12at ③ 2 RT2则将m1、t1代入上述方程组，得
a1＝2h /t1＝0.0156 m / s2 T1＝m1 (g－a1)＝78.3 N J＝(T1R－Mf )R / a1 ④ 将m2、t2代入①、②、③方程组，得
2-
Tmg
a2＝2h /t2 ＝6.4×103 m / s? T2＝m2(g－a2)＝39.2 N
J = (T2R－Mf)R / a2 ⑤
由④、⑤两式，得 J＝R2(T1－T2) / (a1－a2)＝1.06×103 kg·m2
4. 一转动惯量为J的圆盘绕一固定轴转动，起初角速度为?0．设它所受阻力矩与转动角速度成正比，即M＝－k? (k为正的常数)，求圆盘的角速度从?0变为?0时所需的时间．
解：根据转动定律： ?????????????? ???? Jd? / dt = -k?????????????????????????????????????????????????? ∴ 两边积分：
12kdt
?J?0/21tk??0?d????0Jdt
??d?
得 ln2 = kt / J ∴ t＝(J ln2) / k
5. 某人站在水平转台的中央，与转台一起以恒定的转速n1转动，他的两手各拿一个质量为
2
m的砝码，砝码彼此相距l1 (每一砝码离转轴码离转轴为
1l1),当此人将砝码拉近到距离为l2时(每一砝21l2)，整个系统转速变为n2．求在此过程中人所作的功．(假定人在收臂过程中2自身对轴的转动惯量的变化可以忽略)
解：(1) 将转台、砝码、人看作一个系统，过程中人作的功W等于系统动能之增量：
W＝?Ek＝
112112(J0?ml2)4??n2?(J0?ml12)4?2n12 2222这里的J0是没有砝码时系统的转动惯量．
(2) 过程中无外力矩作用，系统的动量矩守恒：
1212) n2 ml1) n1 = 2? (J0＋ml2222ml12n1?l2n2∴ J0?
2?n2?n1? 2?(J0＋
?? (3) 将J0代入W式，得 W??mn1n2l1?l2
6. 一质量均匀分布的圆盘，质量为M，半径为R，放在一粗糙 水平面上(圆盘与水平面之间的摩擦系数为)，圆盘可绕通过其中心O的竖直固定光滑轴转动．开始时，圆盘静止，一质量为m的子弹以水平速度v0垂直于圆盘半径打入圆盘边缘并嵌在盘边上，求
2?22??v0 m R O (1) 子弹击中圆盘后，盘所获得的角速度． (2) 经过多少时间后，圆盘停止转动． (圆盘绕通过O的竖直轴的转动惯量为
1MR2，忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩) 2
解：(1) 以子弹和圆盘为系统，在子弹击中圆盘过程中，对轴O的角动量守恒．
1MR2＋mR2)? 2mv0 ??
?1??M?m?R?2? mv0R＝(
(2) 设?表示圆盘单位面积的质量，可求出圆盘所受水平面的摩擦力矩的大小 为 Mf??r?g??2?rdr＝(2 / 3)???gR3＝(2 / 3)?MgR
0R设经过?t时间圆盘停止转动，则按角动量定理有 －Mf??t＝0－J?＝－(∴
3
1MR2＋mR2)?＝- mv 0R 2mv0Rmv0R3mv0 ?t? ???2/3??MgR2?MgMf7.一匀质细棒长为2L，质量为m，以与棒长方向相垂直的速度v0在光滑水平面内平动时，与前方一固定的光滑支点O发生完全非弹性碰
1212L L L v0 O 1撞．碰撞点位于棒中心的一侧L处，如图所示．求棒在碰撞后的瞬
2时绕O点转动的角速度?．(细棒绕通过其端点且与其垂直的轴转动时
v0 12的转动惯量为ml，式中的m和l分别为棒的质量和长度．)
3
解：碰撞前瞬时，杆对O点的角动量为
3L/20L/20??v0xdx???v0xdx??v0L2?mv0L
212式中?为杆的线密度．碰撞后瞬时，杆对O点的角动量为
1?3?3?1?1? J???m?L??m?L?3?4?2??4?2?因碰撞前后角动量守恒，所以 7mL?/12?22?72???mL?
12??1mv0L 2∴ ? = 6v0 / (7L)
8. 长为l的匀质细杆，可绕过杆的一端O点的水平光滑固定轴转动，
开始时静止于竖直位置．紧挨O点悬一单摆，轻质摆线的长度也是l，m l摆球质量为m．若单摆从水平位置由静止开始自由摆下，且摆球与细杆作完全弹性碰撞，碰撞后摆球正好静止．求： (1) 细杆的质量．
(2) 细杆摆起的最大角度?．
解：(1) 设摆球与细杆碰撞时速度为v 0，碰后细杆角速度为?，系统角动量守恒 得： J? = mv0l
由于是弹性碰撞，所以单摆的动能变为细杆的转动动能
O l?M
112mv0?J?2 22代入J＝
12
Ml，由上述两式可得 M＝3m 3
(2) 由机械能守恒式
1112mv0?mgl及 J?2?Mg?l1?co?s? 2221并利用(1) 中所求得的关系可得 ??arccos
3
四 研讨题
1. 计算一个刚体对某转轴的转动惯量时，一般能不能认为它的质量集中于其质心，成为一质点，然后计算这个质点对该轴的转动惯量？为什么？举例说明你的结论。
参考解答： 不能．
因为刚体的转动惯量
2r?i?mi与各质量元和它们对转轴的距离有关．如一匀质圆盘对
4