发布时间 : 星期二 文章九年级数学上册4锐角三角函数小专题十构造基本图形解直角三角形的实际问题练习湘教版更新完毕开始阅读
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小专题(十) 构造基本图形解直角三角形的实际问题
类型一 构造单一直角三角形解决实际问题
方法归纳：通过构造单一的直角三角形，只要知道其中的一条边长和一个锐角，就可以利用解直角三角形的知识求出其余各边的长．
【例1】 如图，某同学在楼房的A处测得荷塘的一端B处的俯角为30°，荷塘另一端D与点C、B在同一条直线上，已知AC＝32米，CD＝16米，求荷塘宽BD为多少米？(取3≈1.73，结果保留整数)
1．如图，在一次测量活动中，小华站在离旗杆底部(B处)6米的D处，仰望旗杆顶端A，测得仰角为60°，眼睛离地面的距离ED为1.5米．试帮助小华求出旗杆AB的高度．(结果精确到0.1米，3≈1.732)
类型二 构造单一非直角三角形解决实际问题
方法归纳：通过构造一个非直角三角形，已知其中的两角和一边，可过第三个角的顶点作高，将三角形转化为两个直角三角形，再利用解直角三角形的知识求出其余各边长．
【例2】 为促进我市经济快速发展，加快道路建设，某高速公路建设工程中，需修建隧道AB，如图，在山外一点C测得BC距离为200 m，∠CAB＝54°，∠CBA＝30°，求隧道AB的长(参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38，3≈1.73，精确到个位)．
1
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2．如图，某天上午9时，向阳号轮船位于A处，观测到某港口城市P位于轮船的北偏西67.5°，轮船以21海里/时的速度向正北方向行驶，下午2时该船到达B处，这时观测到城市P位于该船的南偏西36.9°方向，求此时轮船331212
所处位置B与城市P的距离．(参考数据：sin36.9°≈，tan36.9°≈，sin67.5°≈，tan67.5°≈)
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类型三 构造双直角三角形解决实际问题
方法归纳：如图，构造两个直角三角形，利用解直角三角形的知识容易知道如下结果： hh
tanβ＝，tanα＝，
ba＋b
hhatanαatanβtanα
∴a＝－，b＝，h＝.
tanαtanβtanβ－tanαtanβ－tanα
【例3】 (张家界中考)如图，我渔政310船在南海海面上沿正东方向匀速航行，在A点观测到我渔船C在北
偏东60°方向的我国某传统渔场捕鱼作业．若渔政310船航向不变，航行半小时后到达B点，观测我渔船C在东北方向上．问：渔政310船再按原航向航行多长时间，离渔船C的距离最近？(渔船C捕鱼时移动距离忽略不计，结果不取近似值)
3．(益阳中考)“中国·益阳”网上消息，益阳市为了改善市区交通状况，计划在康富路的北端修建通往资江北岸的新大桥．如图，新大桥的两端位于A、B两点，小张为了测量A、B之间的河宽，在垂直于新大桥AB的直线型道路l上测得如下数据：∠BDA＝76.1°，∠BCA＝68.2°，CD＝82米．求AB的长(精确到0.1米)．(参考数据：sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.0，sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.5)
2
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4．(岳阳中考)某校有一露天舞台，纵断面如图所示，AC垂直于地面，AB表示楼梯，AE为舞台面，楼梯的坡角∠ABC＝45°，坡长AB＝2 m．为保障安全，学校决定对该楼梯进行改造，降低坡度，拟修建新楼梯AD，使∠ADC＝30°.
(1)求舞台的高AC(结果保留根号)；
(2)在楼梯口B左侧正前方距离舞台底部C点3 m处有一株大树，修新楼梯AD时底端D是否会触到大树？并说明理由．
5．(常德中考)如图，A，B，C表示修建在一座山上的三个缆车站的位置，AB，BC表示连接缆车站的钢缆．已知A，B，C所处位置的海拔AA1，BB1，CC1，分别为160米，400米，1 000米，钢缆AB，BC分别与水平线AA2，BB2所成的夹角为30°，45°，求钢缆AB和BC的总长度．(结果精确到1米)
参考答案
例1 在Rt△ACB中，∠CAB＝60°，CB＝AC·tan60°＝323. ∴DB＝CB－CD＝323－16≈39. 答：荷塘宽DB的长约为39米． 例2 过点C作CD⊥AB于D.
在Rt△BCD中，∵∠B＝30°，BC＝200 m． 1
∴CD＝BC＝100 m，BD＝1003 m．
2CD
在Rt△ACD中，∵tan∠CAB＝，
AD100
∴AD＝≈72 m，
tan54°
∴AB＝AD＋BD＝245 m．
答：隧道AB的长约为245 m.
例3 作CD⊥AB，交AB的延长线于D，则当渔政310船航行到D处时，离渔船C的距离最近． AD
设CD＝x，在Rt△ACD中，∵∠ACD＝60°，tan∠ACD＝，
CD∴AD＝3x.
在Rt△BCD中，∵∠CBD＝∠BCD＝45°， ∴BD＝CD＝x.
ABBD
∴AB＝AD－BD＝3x－x＝(3－1)x.设渔政船从B航行到D需要t小时，则＝，
0.5t
3
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∴
（3－1）xx
＝.
0.5t
0.53－1
＝
3＋1
. 4
3＋1
小时，离渔船C的距离最近.1.在Rt△ACE中，∠CEA＝60°，CE＝BD＝6， 4
∴t＝
答：渔政310船再航行AC
∴tan∠AEC＝.
CE
∴AC＝CE·tan∠AEC＝6tan60°＝63. ∴AB＝AC＋BC＝63＋1.5≈11.9(米)． 答：旗杆AB的高度为11.9米．
2.设BC＝x海里，由题意，易得AB＝21×(14－9)＝105(海里)，则AC＝105－x(海里)． 在Rt△BCP中，tan36.9°＝
PC， BC
3PC
∴PC＝BC·tan36.9°＝x.在Rt△ACP中，tan67.5°＝，
4AC12
∴PC＝AC·tan67.5°＝(105－x)．
5312
∴x＝(105－x)．解得x＝80. 453
∴PC＝x＝60(海里)．
4
∴PB＝PC＋BC＝100(海里)．
答：此时轮船所处位置B与城市P的距离约为100海里． AB
3.设AD＝x米，则AC＝(x＋82)米．在Rt△ABC中，tan∠BCA＝，
ACAB
∴AB＝AC·tan∠BCA＝2.5(x＋82)．在Rt△ABD中，tan∠BDA＝，
AD∴AB＝AD·tan∠BDA＝4x. ∴2.5(x＋82)＝4x. 410∴x＝.
3
410
∴AB＝4x＝×4≈546.7.
3
答：AB的长约为546.7米．
4.(1)在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝45°， ∴△ABC是等腰直角三角形，斜边AB＝2 m． 在Rt△ABC中，AC＝AB·sin45°＝2×(2)在Rt△ADC中，∠ADC＝30°， ∴CD＝
AC2
＝＝6<3.
tan30°3
3
2
＝2(m)． 2
2
2
∴不会触到大树．
BD
5.在Rt△ABD中，BD＝400－160＝240，∠BAD＝30°，则AB＝＝480 m．
sin30°CB2
在Rt△BCB2中，CB2＝1 000－400＝600，∠CBB2＝45°.则CB＝＝6002 m．
sin45°
4
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∴AB＋BC＝480＋6002≈1 329(米)．
答：钢缆AB和BC的总长度约为1 329米．
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